Как найти периметр четырехугольника: формула, частные случаи и примеры расчета с иллюстрацией.
Как найти периметр четырехугольника: формула, частные случаи и примеры расчета с иллюстрацией.
Периметр четырехугольника - это сумма длин всех его сторон. Обозначают периметр обычно буквой P (от лат. perimeter) или русской буквой П.
Четырёхугольник - многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя вершинами. Стороны могут быть равными или разными, параллельными или нет. На способ подсчёта периметра это влияет только через то, какие длины известны и какие равенства можно использовать.
Единица измерения периметра - та же, что и у длины стороны: мм, см, м и т. д.
Если стороны четырехугольника равны a, b, c и d, то
P = a + b + c + d.
Формула верна для любого четырёхугольника: выпуклого и невыпуклого, правильного и неправильного, самопересекающегося (в учебных задачах самопересекающиеся фигуры почти не встречаются).
Если стороны заданы как отрезки AB, BC, CD и DA, записывают
P = AB + BC + CD + DA.
Когда у фигуры есть равные или параллельные стороны, общую сумму упрощают.
Все четыре стороны равны: a = a = a = a.
P = 4a.
Все стороны равны, как у квадрата, но углы не обязательно прямые.
P = 4a.
Противоположные стороны равны: две стороны a и две стороны b.
P = 2(a + b) = 2a + 2b.
Противоположные стороны попарно равны.
P = 2(a + b) = 2a + 2b,
где a и b - смежные стороны.
У трапеции параллельны только две стороны (основания). Боковые стороны могут быть разными.
P = a + b + c + d,
где a и b - основания, c и d - боковые стороны.
Если трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: c = d, тогда
P = a + b + 2c.
Одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Периметр по-прежнему считают как сумму четырёх сторон; прямой угол сам по себе длину не "сокращает", он помогает находить неизвестную сторону через теорему Пифагора или свойства высот.
Две пары смежных сторон равны: a = b и c = d (или иначе, в зависимости от расположения).
P = 2a + 2c.
Если в четырёхугольник можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны:
a + c = b + d.
Тогда периметр
P = 2(a + c) = 2(b + d).
Это удобно в задачах, где известны две стороны и периметр (или полупериметр) и нужно найти остальные.
Полупериметр обозначают p (или s):
p = P / 2.
Для описанного четырёхугольника p = a + c = b + d.
Если около четырёхугольника описана окружность, сумма противоположных углов равна 180°. На формулу периметра это напрямую не влияет: P по-прежнему равен сумме сторон. Свойство используют, когда длины сторон находят через тригонометрию, подобные треугольники или теорему Птолемея - но сам периметр считают после того, как стороны уже известны.
Дано: стороны 7 см, 5 см, 9 см и 3 см. Найти периметр.
Решение:
P = 7 + 5 + 9 + 3 = 24 см.
Ответ: 24 см.
Дано: длина 12 м, ширина 5 м. Найти периметр.
Решение:
P = 2(12 + 5) = 2 · 17 = 34 м.
Ответ: 34 м.
Дано: сторона ромба равна 8 дм. Найти периметр.
Решение:
P = 4 · 8 = 32 дм.
Ответ: 32 дм.
Дано: основания 10 см и 16 см, боковая сторона 5 см. Найти периметр.
Решение:
P = 10 + 16 + 2 · 5 = 26 + 10 = 36 см.
Ответ: 36 см.
Периметр четырёхугольника, описанного около окружности, равен 24. Две его стороны равны 5 и 6. Найти большую из оставшихся сторон.
Решение:
Для описанного четырёхугольника a + c = b + d = P / 2 = 12.
Пусть известные стороны - соседние или противоположные; в любом допустимом расположении суммы противоположных пар равны 12.
Обозначим неизвестные стороны x и y. Тогда одна из пар противоположных сторон в сумме даёт 12, и
x + y = 12
(если 5 и 6 - противоположные, то 5 + 6 = 11 ≠ 12, значит 5 и 6 не могут быть противоположными; они смежные).
Тогда, например, 5 + x = 6 + y = 12.
Отсюда x = 12 - 5 = 7, y = 12 - 6 = 6.
Но y = 6 совпадает с уже данной стороной; проверим другую группировку смежных:
5 + y = 6 + x = 12 → y = 7, x = 6.
В обоих согласованных вариантах неизвестные стороны равны 7 и 6. Большая из оставшихся - 7.
(Если в условии "оставшееся" понимают как две неизвестные из четырёх, большая равна 7.)
Ответ: 7.
Дан прямоугольный четырёхугольник (прямоугольник), у которого диагональ 13 см, одна сторона 5 см. Найти периметр.
Решение:
Вторая сторона по теореме Пифагора:
b = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см.
P = 2(5 + 12) = 34 см.
Ответ: 34 см.
| Фигура | Формула периметра |
| --- | --- |
| Произвольный четырёхугольник | P = a + b + c + d |
| Квадрат | P = 4a |
| Ромб | P = 4a |
| Прямоугольник | P = 2(a + b) |
| Параллелограмм | P = 2(a + b) |
| Равнобедренная трапеция | P = a + b + 2c |
| Описанный четырёхугольник | P = 2(a + c) = 2(b + d) |
Периметр любого четырехугольника - сумма четырёх сторон. Частные формулы лишь сокращают запись за счёт равных сторон. Если сторона неизвестна, сначала находят её по геометрическим свойствам фигуры, затем подставляют в сумму. В задачах ЕГЭ и ОГЭ часто встречаются описанные четырёхугольники и равнобедренные трапеции - для них полезно сразу выписывать равенство сумм противоположных сторон или равенство боковых сторон.
