Производная параметрической функции

В некоторых случаях функция может быть задана параметрически, то есть в виде:.

Если бы мы выразили из первого уравнения  и подставили во второе, то получили бы явно заданную функцию.

Например, в системе мы легко можем исключить параметр , возводя обе части в квадрат и складывая полученные равенства: .

Отсюда легко получить уравнения обеих половинок эллипса. Но не всегда удается исключить параметр .

Например, уравнение циклоиды задается параметрически .

Однако выразить  как функцию  весьма затруднительно. Возникает вопрос, как найти производную такой функции? Ответ дается формулой . 

Приведем несколько примеров.

Пример 1 

Найти производную циклоиды . Согласно формуле для производной параметрически заданной функции имеем: . Тем самым, .

Пример 2 

Найти производную функции .

Имеем:

, .

Подставляем в формулу для производной, получаем: .

Пример 3

Построить уравнение касательной к кривой в точке .

При  функция проходит через точку .

Найдем производную в этой точке: .

Отсюда производная функции в точке  равна .

По формуле для касательной к кривой в данной точке имеем: .

Подставляя найденные значения получаем: .