Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система уравнений следующего вида

 называется неоднородной системой линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Система уравнений 

 Называется однородной. Если мы введем в рассмотрение векторы 

 и матрицу   , то неоднородная и однородная системы будут выглядеть более компактным образом:

По форме уравнения напоминают линейные уравнения первого порядка, но их решать, конечно же, сложнее. Здесь нужно найти так называемую фундаментальную матрицу решений,

, то есть  линейно независимых решений 

 являющихся соответственно  -м, -м  -м столбцами матрицы. Определитель этой матрицы называется определителем Вронского. Общее решение однородной системы представляется  в виде:

Где  есть вектор столбец, состоящий из произвольных постоянных. Если мы решаем неоднородную систему и  произвольное частное решение этой системы, То общее решение неоднородной системы запишется в виде: 

Наиболее простые системы можно решать методом исключения. Приведем пример:

Пример 1 Решить однородную систему  . 

Выразим из второго уравнения  и подставим в первое уравнение:

 Для полученного линейного однородного уравнения составим характеристическое уравнение:  . Его корни  . Фундаментальная система решений  , а общее решение этого уравнения .

Подставляя в выражение для второй неизвестной:

Пример 2 Решить неоднородную систему   .

Однородная система, отвечающая данной неоднородной системе, решена в примере 1. Нам остается найти частное решение исходной неоднородной системы. Как и в случае линейных уравнений с постоянными коэффициентами, будем искать решение в виде функций стоящих в правой части:  .

Подставляем в систему:

 Собирая подобные члены и приравнивая коэффициенты при подобных членах в этих двух уравнениях, получим систему для определения неизвестных коэффициентах:

 Таким образом, общее решение неоднородного уравнения: