Система уравнений следующего вида
.png)
называется неоднородной системой линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Система уравнений
.png)
Называется однородной. Если мы введем в рассмотрение векторы
.png)
и матрицу .png){kind=small}
, то неоднородная и однородная системы будут выглядеть более компактным образом:
По форме уравнения напоминают линейные уравнения первого порядка, но их решать, конечно же, сложнее. Здесь нужно найти так называемую фундаментальную матрицу решений,
.png)
, то есть .png){kind=small}
линейно независимых решений
.png){kind=small}
являющихся соответственно 
-м, 
-м 
-м столбцами матрицы. Определитель этой матрицы называется определителем Вронского. Общее решение однородной системы представляется в виде:
Где 
есть вектор столбец, состоящий из произвольных постоянных. Если мы решаем неоднородную систему и 
произвольное частное решение этой системы, То общее решение неоднородной системы запишется в виде:
Наиболее простые системы можно решать методом исключения. Приведем пример:
Пример 1 Решить однородную систему
.
Выразим из второго уравнения
и подставим в первое уравнение:
Для полученного линейного однородного уравнения составим характеристическое уравнение:
. Его корни
. Фундаментальная система решений
, а общее решение этого уравнения
.
Подставляя в выражение для второй неизвестной:
.png)
Пример 2 Решить неоднородную систему
.
Однородная система, отвечающая данной неоднородной системе, решена в примере 1. Нам остается найти частное решение исходной неоднородной системы. Как и в случае линейных уравнений с постоянными коэффициентами, будем искать решение в виде функций стоящих в правой части:
.
Подставляем в систему:
Собирая подобные члены и приравнивая коэффициенты при подобных членах в этих двух уравнениях, получим систему для определения неизвестных коэффициентах:
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения:
.png){kind=small}
.png)
