Дадим сначала два определения.
Функция 
называется однородной функцией степени .png){kind=small}
если для всех пар
выполнено равенство 
.
Дифференциальное уравнение 
-го порядка называется однородным, если его можно записать в виде:
,
где
и 
однородные функции одной и той же степени.
Однородное уравнение можно записать также в виде: 
.
Алгоритм решения однородных уравнений следующий: делаем подстановку 
. После преобразований получаем уравнение с разделяющимися переменными.
Приведем несколько примеров.
Пример 1 Решить уравнение
Делаем замену:
. После преобразования подобных членов получим уравнение с разделяющимися переменными:
. Разделяем переменные и интегрируем:
. Находим интеграл:
. Вспоминая, что
получаем общий интеграл:
. Уравнения вида
приводятся к однородным уравнениям. Если
, то применяется замена
, где
подбираются так, чтобы уравнение приняло вид
, после чего уравнение становится однородным. Если
, то
и уравнение сразу сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой:
.
Приведем примеры:
Пример 2 Решить уравнение:
Сведем уравнение к однородному уравнению. Сделаем замену
.Осталось найти
и
из системы:
. Итак, после замены
уравнение принимает вид:
. Решаем полученное однородное уравнение. Сделаем замену:
.
После преобразований и разделения переменных получим:
. Найдем интеграл в правой части:
.png)
Осталось в полученный общий интеграл подставить
и мы получим окончательный вид общего решения через исходные переменные.
