Нахождение наименьшего общего кратного: способы, примеры нахождения НОК

При изучении математике, при прохождении школьной программы, обучающийся сталкивается с наименьшим общим кратным (НОК), которое используется как для положительных, так и для отрицательных значений. Важно понимать, каким алгоритмом необходимо пользоваться для получения верного значения.

Использование НОД для проведения вычислений

После понятия определения, можно перейти к рассмотрению варианты НОК через данные НОД. Первоначально разберитесь в положительных числах. Провести расчеты можно будет при использовании калькулятора, но в школьной программе требуется проведение расчетов самостоятельно.

Определение:

Поиск наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель можно по формуле НОК(a, b)=a⋅b:НОД(a, b).

Пример:

Необходимо найти НОК чисел 126 и 70.

Решение

Начнем решать.

Примем a=126, b=70. Подставим значения в формулу вычисления наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель НОК(a, b)=a⋅b:НОД(a, b)Найдем НОД чисел 70 и 126. Для этого нам понадобится алгоритм Евклида: 126=70⋅1+56, 70=56⋅1+14, 56=14⋅4, следовательно, NOD(126, 70)=14.Вычислим НОК:НОК(126, 70)=126⋅70:НОД(126, 70)=126⋅70:14=630.

Ответ: NOC(126, 70)=630.

В рассматриваемом варианте применяется правило выискивания НОК, относящихся к целым положительным значениям. Если первое число получится разделить на втором, значит наименьшим общим кратным будет 1 (не потребуется проведение дополнительных подсчетов для конечного значения).

Разделение больших чисел на ключевые множители 

Определение:

Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:

• составляем произведение всех простых множителей чисел, для которых нам нужно найти НОК;
• исключаем их полученных произведений все простые множители;
• полученное после исключения общих простых множителей произведение будет равно НОК данных чисел.

Описанный вариант расчетов идет на равенстве НОКНОД. При рассмотрении формулы становится понятно, что перемножение выражений, которые участвуют в разложении.

Дополнительная информация! НОД равняется произведению множителей, выведенных при разделении. При этом из одного может быть выделено не только 2, но и большее количество простых чисел.

Совет: При разложении первым делом рекомендуется выделить 2 основных выражения, после этого будет проще разложить их на простые цифры. Так процесс выявления становится значительно проще.

Пример:

У нас есть два числа 75 и 210. Мы можем разложить их на множители следующим образом: 

75=3⋅5⋅5 и 210=2⋅3⋅5⋅7. Если составить произведение всех множителей двух исходных чисел, то получится: 2⋅3⋅3⋅5⋅5⋅5⋅7.Если исключить общие для обоих чисел множители 3 и 5, мы получим произведение следующего вида: 2⋅3⋅5⋅5⋅7=1050. Это произведение и будет нашим НОК для чисел 75 и 210.

Формулировка разложения на множители. Она реже используется при изучении математики, однако некоторые обучающиеся отмечают, что ее использование упрощает определение значения НОД при решении заданий:

Определение:

Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:

• разложим оба числа на простые множители;
• добавим к произведению простых множителей первого числа недостающие множители второго числа;
• получим произведение, которое и будет искомым НОК двух чисел.

Пример:

Вернемся к числам 75 и 210, для которых мы уже пробовали искать НОК в одном из прошлых примеров. Разложим их на простые множители: 75=3⋅5⋅5 и 210=2⋅3⋅5⋅7. К произведению множителей 3, 5, и 5 числа 75 добавим недостающие множители 2 и 7 числа 210. Получаем: 2⋅3⋅5⋅5⋅7. Это и есть НОК чисел 75 и 210.

Поиск наименьшего общего кратного для нескольких чисел (более 2)

Вне зависимости от того, какое количество выражений представлено в математической задачи, решаемой при нахождении наименьшего общего кратного числа, рекомендуется придерживаться стандартной последовательности действий.

Важно: При решении математических примеров требуется следование установленной последовательности шагом для получения точного результата. Без следования последовательности присутствует вероятность появления ошибок в полученном результате.

При расчетах учитывается теорема:

Предположим, что у нас есть целые числа a₁, a₂, …, a_k. НОК m_k этих чисел находится при последовательном вычислении m₂=НОК(a₁, a₂), m₃=НОК(m₂, a₃), …, m_k=НОК(m_k−1, a_k).

Пример:

Необходимо вычислить наименьшее общее кратное четырех чисел 140, 9, 54140, 9, 54 и 250.

Решение

Введем обозначения: a₁=140, a₂=9, a₃=54, a₄=250.

Начнем с того, что вычислим m₂=НОК(a₁, a₂)=НОК(140, 9).

Применим алгоритм Евклида для вычисления НОД чисел 140 и 9: 

140=9⋅15+5, 9=5⋅1+4, 5=4⋅1+1, 4=1⋅4. Получаем: НОД(140, 9)=1(140, 9)=1, НОК(140, 9)=140⋅9:НОД(140, 9)=140⋅9:1=1 260. Следовательно, m₂=1 260.

Теперь вычислим по тому е алгоритму m₃=НОК(m₂, a₃)=НОК(1 260, 54). В ходе вычислений получаем m₃=3 780.

Нам осталось вычислить m₄=НОК(m₃, a₄)=НОК(3 780, 250). Действуем по тому же алгоритму. Получаем m₄=94 500.

НОК четырех чисел из условия примера равно 94500.

Ответ: НОК(140, 9, 54, 250)=94 500.

Подсчитывания, проводимые описанным способом, не отличаются сложностью, но требуют следование рекомендованным шагам для правильного ответа. При нарушении последовательности высчитываемый ответ не будет соответствовать правильному. Можно использовать и иной вариант, предполагающий решение при использовании отличающегося алгоритма.

Определение:

Предлагаем вам следующий алгоритм действий: 

• раскладываем все числа на простые множители;
• к произведению множителей первого числа добавляем недостающие множители из произведения второго числа;
• к полученному на предыдущем этапе произведению добавляем недостающие множители третьего числа и т.д.;
• полученное произведение будет наименьшим общим кратным всех чисел из условия.

Пример:

Необходимо найти НОК пяти чисел 84, 6, 48, 7, 143.

Решение

Разложим все пять чисел на простые множители: 

84=2⋅2⋅3⋅7, 6=2⋅3, 48=2⋅2⋅2⋅2⋅3, 7, 143=11⋅13. Простые числа, которым является число 7, на простые множители не раскладываются. Такие числа совпадают со своим разложением на простые множители.

Теперь возьмем произведение простых множителей 2, 2, 3 и 7 числа 84 и добавим к ним недостающие множители второго числа. Мы разложили число 6 на 2 и 3. Эти множители уже есть в произведении первого числа. Следовательно, их опускаем.

Продолжаем добавлять недостающие множители. Переходим к числу 48, из произведения простых множителей которого берем 2 и 2. Затем добавляем простой множитель 7 от четвертого числа и множители 11 и 13 пятого. Получаем: 2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅7⋅11⋅13=48 048. Это и есть наименьшее общее кратное пяти исходных чисел.

Ответ: НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.

Разбор вычислений для отрицательных вариаций 

Дополнительная информация! Замена знака допускается вследствие того, что количество множителей в отрицательным и в положительном выражении оказывается равным, вследствие чего изменение знака не приведет к негативным последствиям и не станет причиной появления ошибки в проводимых алгоритмах.

Совет: Перед началом высчитывания посмотрите на таблицу, в которой представлены цифры, не имеющие делителей, то есть те вариации, которые не получится разложить вследствие отсутствия множителей. Такими, например, являются 11, 103, 229 и т.д. Они – простые, из-за чего у них присутствует только 2 делителя – 1 и сама цифра, которое при делении на себя же даст 1. Если выражение, с которым работает ученик, является простым – возможности провести подсчеты для НОК – не будет, придется решать задачу на основании представленных данных.

Пример

НОК(54, −34)=НОК(54, 34), а НОК(−622, −46, −54, −888)=НОК(622, 46, 54, 888).

Пример

Необходимо вычислить НОК отрицательных чисел −145 и −45.

Решение

Произведем замену чисел −145 и −45 на противоположные им числа 145 и 45. Теперь по алгоритму вычислим

НОК(145, 45)=145⋅45:НОД(145, 45)=145⋅45:5=1 305, предварительно определив НОД по алгоритму Евклида.

Получим, что НОК чисел −145 и −45 равно 1 305.

Ответ: НОК(−145, −45)=1 305.