При выводе формул в таблице производных используют теоремы и приемы из теории пределов, а так же два замечательных предела. Кроме того, при нахождении производных обратных функций используют теорему о дифференцировании обратной функции. Дадим ее формулировку.
Теорема Пусть задана функция
, которая строго монотонна и непрерывна на интервале
, который отображается на интервал
. Тогда определена и обратная функция
, которая также непрерывна и строго монотонна. Пусть в некоторой точке X производная
существует и не равна 0. Тогда существует производная обратной функции, при этом
.
Покажем, как выводятся табличные производные обратных функций, используя эту теорему.
Пример 1 Покажем, что
. Функция
монотонна на сегменте
,который отображается на сегмент
. На нем определена обратная функция
. По теореме об обратной функции имеем:
.
Мы взяли перед корнем знак +, поскольку
принадлежит сегменту
Пример 2 Покажем, что
. Функция
монотонна для всех Х. Обратная функция
; Применяем теорему об обратной функции:
Здесь мы воспользовались школьной формулой
.
