Вычисление интегралов методами ТФКП

Основная теорема теории вычетов гласит: 

если функция  аналитическая в области и непрерывна в замыкании  всюду, кроме конечного числа особых точек , то .

Здесь - граница области , проходимая в положительном направлении (т. е. так, что при обходе область остается слева.

Пример 1 

Найти интеграл  по контуру .

Контур  охватывает две особые точки функции (два простых полюса):  и .

Найдем вычеты функции в этих точках. Воспользуемся правилом:

В случае простого полюса, когда функция представлена в виде , где , вычет находится по формуле:  .

В нашем случае вычет в первой во второй особых точках:

;

.

Находим интеграл:

.

Пример 2 

Найти интеграл  по контуру единичной окружности: .

Наш контур охватывает все четыре простых полюса функции: корни  й степени из . Чтобы не считать вычеты в этих полюсах, воспользуемся утверждением, что сумма вычетов аналитической функции относительно всех ее особых точек включая бесконечно удаленную равна нулю.

Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки найдем, используя разложение этой функции в ряд относительно бесконечно удаленной точки:

Коэффициент  этого разложения равен . Тем самым .

Теперь, учитывая что: , находим:

.

Приведем несколько примеров, в которых вычисляются действительные интегралы при помощи вычетов. Будем пользоваться следующей схемой.

Пусть  функция аналитическая в верхней полуплоскости и на действительной оси за исключением конечного числа особых точек . 

Пусть, кроме того , где .

Тогда, справедлива формула: .

Пример 3 

Найти интеграл .

Подынтегральная функция удовлетворяет условию убывания на бесконечности 

, и имеет два полюса второго порядка , из которых один  находится в верхней полуплоскости.  Найдем вычет в этом полюсе.

.

Таким образом, наш интеграл равен .

Пусть  рациональная функция, не имеющая особых точек на окружности 

Тогда справедлива формула ,

где    полюсы функции  расположенные в единичном круге  . Эта формула получается, если мы в исходном интеграле сделаем замену .

 

Пример 4 

Найти интеграл .

Проделаем указанную замену .

Получим: .

Знаменатель имеет два простых (не кратных) нуля  из которых один  попадает внутрь единичного круга. Эта точка – простой полюс подынтегральной функции. 

Находим вычет в этом полюсе. 

Таким образом

.

Для следующего типа интегралов используется лемма Жордана:

Лемма Жордана. Пусть функция  аналитическая в верхней полуплоскости и на действительной оси за исключением конечного числа особых точек  лежащих в верхней полуплоскости и пусть  . Тогда, для любого выполняется , где  есть дуга окружности .

Из леммы Жордана следует, что 

Пример 5 

Найти интеграл .

Рассмотрим  функцию . Множитель удовлетворяет условию , по следствию леммы Жордана имеем:

.

 

Находим вычет: .

Отсюда .