Степенные ряды

Функциональный ряд вида 

называется степенным рядом. Область сходимости степенного ряда выглядит просто. Для каждого степенного ряда имеется радиус сходимости , который находится по формуле Коши – Адамара:

 .

Так вот, ряд сходится внутри интервала сходимости:  и расходится вне этого интервала, то есть при . На границах интервала ряд может, как сходиться, так и расходиться. Для произвольного ряда радиус сходимости может быть как положительным числом, так и нулем и бесконечностью. 

Пример 1. Ряд  сходится в единственной точке: при . У этого ряда радиус сходимости равен нулю: . Действительно, .

Пример 2. Ряд  сходится для всех действительных значений . Находим его радиус:  

Пример 3. Найдем область сходимости ряда: . По формуле Коши – Адамара, имеем: .

Значит, ряд сходится при  и расходится при .

Для полноты исследования, нужно решить вопрос о сходимости ряда на границе интервала сходимости. Рассматривая обе граничные точки , мы получаем ряды  и  которые расходятся, так как не удовлетворяют необходимому признаку сходимости (общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю). Итак, ряд сходится при  и расходится при  .

Формула Коши Адамара получается применением признака Коши для положительных рядов к степенному ряду. Похожая формула для радиуса сходимости получается, если мы применим признак Даламбера к степенному ряду:  

То есть, радиус сходимости можно вычислить и по формуле: .

Итак, для определения области сходимости, нужно сначала определить радиус сходимости по одной из формул, а затем исследовать сходимость ряда в концах интервала сходимости.Для разложения произвольной функции в степенной ряд нужно знать определение ряда Тейлора и пять основных разложений.

Аналитическая в точке  функция  в некоторой окрестности этой точки раскладывается в степенной ряд , называемый рядом Тейлора. Если точка , то степенной ряд называется рядом Маклорена.

Пять основных разложений:

;

;

;

;

Пример 4. Разложить функцию  в ряд Маклорена и найти область сходимости.

Воспользуемся стандартным разложением:  

Область сходимости ряда находится из неравенства: .

Пример 5. Определить радиус сходимости ряда  и исследовать поведение ряда на границе промежутка сходимости.Находим радиус сходимости. Используем вторую формулу:  

Итак, радиус сходимости ряда   . Остается исследовать ряд в концах промежутка сходимости: при . Рассмотрим точку . Легко убедиться, что для ряда  последовательность его членов монотонно возрастает, следовательно, не выполняется необходимый признак сходимости ряда. Для  ситуация аналогичная. Таким образом, область сходимости ряда: .