К понятию определенного интеграла приводят многие физические задачи. В конечном счете, все они сводятся к определению площади криволинейной трапеции.
Рассмотрим плоскую фигуру ограниченную отрезком 
оси 
, двумя вертикальными прямыми 
и 
, а также кривой 
(для определенности мы нарисовали кривую над осью ).
Площадь такой трапеции можно найти приближенно. Для этого разбиваем отрезок на 
не обязательно равных частей точками:
,
и на каждом отрезке 
выберем точку 
. Произведение 
есть площадь прямоугольника со сторонами 
и 
. При малых сумма площадей этих прямоугольников будет мало отличаться от площади всей трапеции. Строгое определение определенного интеграла следующее (интеграл Римана).
Обозначим длину наибольшего отрезка через 
. Составим интегральную сумму 
. Конечно, эта сумма зависит еще и от самого разбиения и от выбора точек . Так вот, если предел таких интегральных сумм при 
существует, то он называется определенным интегралом от функции по промежутку :
Мы не останавливаемся на построении строгой теории интеграла Римана. Отметим только, что кусочно - непрерывные функции интегрируемы по Риману. Хотя теория интеграла Римана вполне законченная, но имеет свои недостатки. В частности, интегралы от неограниченных функций, а также интегралы по неограниченным промежуткам (несобственные интегралы) не существуют, как интегралы Римана.
Приведем несколько примеров, показывающих, как вычисляются определенные интегралы через пределы частичных сумм.
Пример 1 Вычислить определенный интеграл, как предел интегральных сумм, производя надлежащим образом разбиение промежутка интеграции:
.
Разбиение промежутка интегрирования проведем так: 
.
Значения функции для определенности возьмем в правых концах промежутков.
Воспользуемся формулой: 
.
Тогда, продолжая дальше цепочку равенств, получим окончательно: 
.
Пример 2 Вычислить определенный интеграл, как предел интегральных сумм:
.
Разбиение промежутка интегрирования проведем, как и в предыдущем примере:
Оставим интегральные суммы. Значения функции берем в левых концах промежутков:
Воспользуемся формулой для суммы членов геометрической прогрессии:
У нас 
. В результате получим:
Теперь используем следствие второго замечательного предела: 
Согласно этой формуле, закончим вычисления: 
. Это и есть значение определенного интеграла .
