Матрицы: примеры с решением и объяснением

В этой статье мы объясним, как выполнять сложение и вычитание матриц, находить произведение матрицы на число и произведение матричных таблиц. Также расскажем, что такое определитель матрицы, обратные матрицы и как выполнять транспонирование матричных таблиц.

Сложение и вычитание матриц

Сложение и вычитание матриц можно выполнять только в случае, если матрицы одинаковой размерности.

Определение У матриц одинаковая размерность, или одинаковый порядок, если количество их столбцов и строк совпадает.

Пример 


Данные матрицы одинаковой размерности, так как имеют одинаковое количество столбцов и строк.

Чтобы осуществить сложение или вычитание матриц, нужно провести сложение или вычитание каждого элемента матрицы с элементом другой матрицы, стоящим на этой же позиции.

Найдем сумму матриц А+В, где:

Получается, элемент с индексом 11 равен a₁₁ + b₁₁, соответственно, результат выглядит таким образом:

Вычитание проводится аналогично.

Пример 
Вычислите А+В и А-В, если 

Решение:

Необходимые действия выполняем для каждой пары элементов:

Умножение матрицы на число

Определение Произведением матрицы А на число λ называется матрица, элементы которой равны произведению числа λ на соответствующие элементы матрицы А.

Пример Выполните умножение матрицы А на число λ= 5.

Решение: 

Произведение матричных таблиц

Чтобы выполнить умножение двух матриц, количество столбцов одной матрицы должны совпадать с количеством строк в другой, то есть A_m×n ⋅ B_n×p = C_m×p.

Имея две матрицы, которые необходимо перемножить, можно определить порядки новой матрицы.

Если задача стоит в умножении A_3×2 и B_2×3, то результат будет иметь размер 3×3: 

Заметка Если количество столбцов одного матричного множителя не совпадает с количеством строк второго матричного множителя, то умножить матрицы невозможно.

Пример Найдите произведение матричных таблиц А и В. А×В Нахождение определителя матрицы

Определение Определитель матрицы, или детерминант, представляет собой число, с которым сопоставляется любая квадратная матрица. Определитель обозначается ∆ или det.

Если матрица равна одному элементу, то ее определитель равен этому элементу: detA = |a₁₁| = a₁₁.

Вычислить определитель матрицы можно по данному правилу:

Определитель матрицы размера 2 равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали с произведением элементов с побочной диагонали:

Определитель матрицы размера 2 равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали с произведением элементов с побочной диагонали:

Если определитель матрицы задан размером в три и более столбца и три и более строки, то для его нахождения используется метод Гаусса или разложение матрицы по строчке и столбцу.

Обратные матрицы

Результатом умножения исходной матрицы A на обратную матрицу А^-1 является единичная матрица Е.

Самый простой метод нахождения обратной матрицы — метод Гаусса.

Пример 
Дана матрица

Необходимо найти обратную матрицу.

Решение:

1. Записываем матрицу А и рядом с ней соответствующего размера матрицу Е:

2. К нулю в последней строчке первой позиции прибавляем умноженную на -3 верхнюю строчку:

3. Обнуляем последний элемент первой строки путем прибавления нижней строчки к верхней:

4. Делим вторую на -2:

5. Получаем результат:

Транспонирование матричных таблиц

Определение Транспонирование — это смена мест строк и столбцов в матрице или определителе с сохранением их исходного порядка. 

Определитель транспонированной матричной таблицы A^T будет равен определителю исходной матрицы A.

Пример 

Транспонируйте матрицу А.

Решение:

Для начала найдем детерминанту:

Теперь выполним транспонирование матрицы А:

Найдем детерминанту для A^T: