Признаки Абеля и Дирихле

Часто ряд представляет собой сумму парных произведений . В этом случае, имеют место два достаточных признака.

Признак Абеля

Если ряд  сходится, а последовательность  монотонна и ограничена, то ряд  сходится.

Признак Дирихле

Пусть частичные суммы ряда  ограничены в совокупности (то есть  , где ), а последовательность   монотонна и стремится к нулю, тогда ряд  сходится.

Для обоих признаков сходимости гарантируется только условная.Доказательство этих признаков основывается на преобразовании Абеля: .

У признака Абеля более жесткое условие налагается на ряд , зато для ряда - условие более мягкое, чем в признаке Дирихле.Отметим, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов, получается из признака Дирихле: в ряде  частичные суммы ряда  ограничены в совокупности, а последовательность  монотонна и стремится к нулю. Приведем примеры.

Пример 1. Исследовать ряд  на сходимость.

Применим признак Дирихле. Последовательность  монотонно стремится к нулю. Остается показать, что частичные суммы ряда  ограничены. Легко заметить, что точки , расположены на единичной окружности центрально симметрично, и для любой точки , имеется точка , так что по формулам приведения . Отсюда следует, что , то есть частичные суммы ряда   могут принимать лишь конечное число значений, а значит, они ограничены в совокупности. Следовательно, оба условия признака Лейбница выполнены и ряд сходится.В этом примере ограниченность сумм ряда  следует также из формулы: . 

Похожую формулу для косинусов мы выведем в следующем примере.

Пример 2. Исследовать ряд  на сходимость.

Рассмотрим последовательность . Умножим это равенство на  и преобразуем: 

Таким образом, . Для нашего примера .

Таким образом, частичные суммы ряда  ограничены, а последовательность  монотонно стремится к нулю. По признаку Дирихле исходный ряд сходится.

Пример 3. Исследовать ряд  на сходимость.

В предыдущем примере мы установили сходимость ряда . Осталось заметить, что последовательность   монотонная и ограниченная (эта последовательность, монотонно возрастая, стремится к  ). Следовательно, по признаку Абеля ряд сходится.Отметим, что для полного исследования нужно бы еще исследовать ряды на абсолютную сходимость. Для всех трех примеров мы этого делать не будем, хотя отметим, что ни один из трех рядов не сходится абсолютно. Покажем отсутствие абсолютной сходимости для второго примера. Для этого проведем следующие выкладки:

Поскольку ряд  расходится, а ряд  сходится, то их сумма  расходится, следовательно, расходится и ряд . Таким образом, по признаку сравнения ряд  не сходится абсолютно, то есть сходится условно.