К понятию производной сводятся многие задачи физики, химии и других естественных наук. Чаще всего приводят пример прямолинейного движения материальной точки. Мы понимаем, что средняя скорость движения автомобиля, проехавшего 100 километров за два часа, равна 50 км. в час. Но на спидометре во время езды скорость изменяется. Иногда она больше средней, а иногда меньше. Если мы возьмем небольшой промежуток времени, то средняя скорость будет ближе к показанию спидометра. Если возьмем совсем маленький промежуток, например, одну секунду, то средняя скорость будет практически равна скорости, показываемой спидометром. Мы подошли к понятию мгновенной скорости, а в целом к понятию производной.
Определение 1 Пусть нам дана функция в промежутке
. Назовем производной этой функции в точке
следующий предел, если он существует:
. При этом числитель дроби
называется приращением функции, а знаменатель
- приращением аргумента.
Отметим, что этот предел 
является неопределенность вида .
Как находить производные функций? Их можно находить непосредственно, используя теорию пределов, а также их можно искать по правилам вычисления производных, используя таблицу производных простейших элементарных функций. Не приводя здесь таблицу производных и правила, покажем на примере одной функции действие обоих методов.
Пример 1 Найти производную функции
непосредственно, то есть используя определение производной. Согласно определению производной имеем:
Пример 2 Найти производную функции
Результат получился одинаковый, а во втором способе вычислений меньше.
