В курсе математического анализа в разделе теории рядов возьмем формулу дающую разложение экспоненты в степенной ряд
.
Для комплексных чисел экспонента или экспоненциальная функция определяется точно так же, а именно через ряд:
Согласно формуле Коши – Адамара этот ряд будет сходиться для всех 
из комплексной плоскости.
Из математического анализа для действительных чисел известны разложения в ряды тригонометрических функций:
Меняя в определении экспоненты на 
, а так же учитывая, что 
получим формулу Эйлера:
.
Эта формула связывает мнимую экспоненту с действительными тригонометрическими функциями. Кстати эта формула Эйлера:
верна и для произвольных комплексных 
, хотя применяется для действительных значений . Формула Эйлера позволяет ввести показательную форму записи комплексных чисел. Пусть комплексное число задано в тригонометрической форме:
.
Тогда показательная форма записи 
получается непосредственно из формулы Эйлера.
Пример 1 Привести комплексное число
к показательной форме, используя формулу Эйлера.
Приведем данное число сначала к тригонометрической форме: модуль числа
. Аргумент
.
Таким образом, применяя формулу Эйлера
.
По формулам Эйлера определяются тригонометрические функции комплексного переменного:
.
Также через экспоненту определяются и гиперболические функции:
.
Из приведенных формул следует связь между гиперболическими функциями и тригонометрическими:
.
Эту связь можно записать в таком виде:
.
Пример 2 Найти
. Используем связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями:
.
