Вычисление длин дуг с помощью интегралов

1. Длина дуги плоской кривой заданной явным уравнением   где , дается формулой:

.

2. Пусть кривая задана параметрически:  . Тогда длина дуги этой кривой определяется по формуле:

. 

3. Если кривая задана в полярных координатах  , то ее длина дается формулой: 

.  

К сожалению, во всех трех интегралах под интегралом — квадратный корень, а квадратные корни интегрируются в конечном виде редко. Поэтому не так уж много кривых, чью длину мы можем определить в явном виде. Даже длина дуги эллипса в явном виде не получается. Тем не менее, длины дуг некоторых кривых вычисляются в явном виде.

Пример 1 Найти длину дуги параболы . 

Кривая задана в явном виде, длину дуги находим по первой формуле: 

. 

Пример 2 Найти длину дуги астроиды: .

Изобразим кривую:

Удобнее задать кривую параметрически: . Здесь будет меняться от  до . 

При этом точка опишет все четыре дуги начиная с точки  — это при значении   и далее остальные вершины астроиды  при ;  при ;  при  и возвращение в исходную точку  при .

Поскольку длина всей кривой равна четырем длинам дуги в каждом из квадрантов, то находим длину дуги в первом квадранте и умножаем на четыре:

 .

Пример 3 Найти длину одной арки циклоиды  

Воспользуемся второй формулой: 

 .

Пример 4 Найти длину одного витка спирали Архимеда: :

Воспользуемся третьей формулой: 

 .