Признаки Коши и Даламбера довольно грубые достаточные признаки. Они различают, по сути, только ряды схожие с геометрической прогрессией. Более тонкую сходимость они не чувствуют. Для рядов типа гармонического ряда или обобщенно гармонического ряда они не работают.
Пусть 
положительный ряд (то есть 
). Тогда если 
, то ряд сходится, если 
, то ряд расходится, если 
, то ничего сказать нельзя (признак не работает).
Пусть положительный ряд. Тогда если , то ряд сходится, если , то ряд расходится, если 
, то ничего сказать нельзя (признак не работает).
Эти признаки практически работают в одну силу, правда, признак Даламбера более капризный. Если, например, в сходящейся геометрической прогрессии поменять местами члены:
, то признак Коши покажет сходимость, а в признаке Даламбера предел 
не будет существовать. Иногда удобнее применять один признак, а иногда, другой.
Пример 1 Исследовать ряд на сходимость
.
Здесь удобнее применить признак Даламбера, так как в определении общего члена присутствует факториал. Для начала рекомендуется выписать члены, которые будем сравнивать:
Теперь отношение:
.
По признаку Даламбера ряд сходится.
Пример 2 Исследовать ряд на сходимость
.
Здесь так же применим признак Даламбера:
Здесь по признаку Даламбера получили сходящийся ряд.
Пример 3 Исследовать ряд на сходимость
.
Применим признак Коши:
Ряд сходится по признаку Коши.
Пример 4 Исследовать ряд на сходимость
.
Применим признак сходимости Коши.
По признаку Коши ряд сходится.
Пример 5 Исследовать ряд на сходимость
.
Применим признак Коши:
.
По признаку Коши ряд сходится.
