Интегральные теоремы о среднем

Имеется несколько интегральных теорем о среднем. Мы рассмотрим здесь две наиболее известные теоремы.

Теорема 1. Пусть функция  непрерывна на . Тогда найдется точка , такая что .

Доказательство. Пусть  и . Проинтегрируем неравенство  по промежутку :

По теореме о промежуточном значении, найдется такая точка, что  .

Из последнего равенства и вытекает утверждение теоремы: .

Величина  называется средним значением функции  на отрезке .

Имеет место обобщение этой теоремы.

Теорема 2. Пусть функции  и  непрерывны на  и  не меняет знака  и не равна тождественно нулю. Тогда найдется точка , такая что .

Доказательство. Пусть для определенности . Пусть, как и в первой теореме  и . Проинтегрируем неравенство  по промежутку :

Далее, как и в первой теореме, находим точку , такую, что 

Отсюда и следует требуемое неравенство: 

Приведем несколько примеров применения теорем о среднем.

Пример 1 Определить средние значения функций 

1. на отрезке .
2. на отрезке .
3. на отрезке .

Решение. 1) Находим, согласно определению:  

2). Точно так же:

3). Имеем:  

Пример 2 Оценить значение интеграла: 

Используем вторую теорему.

Берем функцию  и .

Тогда 

Поскольку  и . Таким образом, .