Имеется несколько интегральных теорем о среднем. Мы рассмотрим здесь две наиболее известные теоремы.
Теорема 1. Пусть функция 
непрерывна на 
. Тогда найдется точка 
, такая что 
.
Доказательство. Пусть 
и 
. Проинтегрируем неравенство 
по промежутку :
По теореме о промежуточном значении, найдется такая точка, что 
.
Из последнего равенства и вытекает утверждение теоремы: 
.
Величина 
называется средним значением функции на отрезке .
Имеет место обобщение этой теоремы.
Теорема 2. Пусть функции и 
непрерывны на и не меняет знака и не равна тождественно нулю. Тогда найдется точка , такая что 
.
Доказательство. Пусть для определенности 
. Пусть, как и в первой теореме и . Проинтегрируем неравенство 
по промежутку :
Далее, как и в первой теореме, находим точку , такую, что
Отсюда и следует требуемое неравенство:
Приведем несколько примеров применения теорем о среднем.
Пример 1 Определить средние значения функций
на отрезке
.
на отрезке
.
на отрезке
.
Решение. 1) Находим, согласно определению: 
2). Точно так же: 
3). Имеем: 
Пример 2 Оценить значение интеграла:
Используем вторую теорему.
Берем функцию 
и 
.
Тогда 
Поскольку 
и 
. Таким образом, 
.
