Сходимость произвольных рядов

Мы знаем признаки сходимости положительных рядов: признаки сравнения, Коши, Даламбера, Гаусса, Раабе, интегральный признак и т. д. Если ряд знакопеременный, применяем признаки Лейбница, Абеля , Дирихле. Если же ряд произвольный, то тоже можно применять признаки Абеля и Дирихле. Для произвольных рядов имеет место теорема Римана. 

Теорема Римана.

Если ряд  сходится условно (но не сходится абсолютно) то его члены можно так переставить, что полученный ряд будет сходиться к любому наперед заданному числу.Что значит переставить члены ряда? Это означает, что мы составляем ряд, у которого каждый член исходного ряда присутствует, но не обязательно на своем месте.Доказательство этой теоремы образно выглядит так: мы имеем два резервуара: один с холодной водой, а другой с горячей. Резервуары бесконечной вместимости (это значит, в силу условной сходимости, что если мы возьмем ряд только с положительными членами, или ряд только с отрицательными членами, то полученные ряды будут иметь один сумму , а другой сумму ). Так вот, требуется получить поток воды заданной температуры, величина которой находится между температурой холодного резервуара и температурой горячего резервуара.

Пример 1. Рассмотрим ряд Лейбница  .

Он сходится условно, поскольку удовлетворяет признаку Лейбница: ряд знакопеременный, и модули его членов монотонно стремятся к нулю. Сходимость, однако, не абсолютная, так как ряд   составленный из модулей членов исходного ряда является гармоническим рядом, а он расходится. Можно показать, что если переставить члены ряда так, что после группы  положительных членов следует группа  отрицательных членов, то полученный ряд будет сходиться к числу . Доказательство этого факта мы приводить не будем. Отметим, что оно использует результат следующего примера.

Пример 2. Показать, что  , Где  - некоторая константа, а  при .

Рассмотрим последовательность . Нам понадобится  следующее неравенство: Последнее неравенство следует из определения числа , как общего предела двух последовательностей: одной, монотонно возрастающей , а другой – монотонно убывающей . Тогда, логарифмируя неравенство, получим: , 

Откуда и следует неравенство: .

Покажем, что последовательность  монотонно убывает. Действительно, .

С другой стороны, рассмотрим последовательность .

Эта последовательность является монотонно возрастающей: 

Поскольку  и , то по лемме о вложенных промежутках, эти последовательности имеют общий предел. Его и обозначают , и из определения предела   и следует формула . Сама константа  является числом трансцендентным, как и , и называется константой Эйлера. Сама последняя формула очень важная, она позволяет оценить скорость расходимости гармонического ряда. Например, чтобы частичная сумма гармонического ряда превысила , нужно взять приблизительно . То есть, образно говоря, гармонический ряд почти сходится.

Пример 3. Исследовать ряд  на сходимость.Выделим главную часть общего члена ряда:

Таким образом, , следовательно, по признаку сравнения, ряд сходится.