Запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
.png)
в матричном виде:
, где .png){kind=small}
.
Рассмотрим матричный метод решения систем. Ограничимся однородными системами. Пусть
однородная система. Находим корни характеристического уравнения
.
Простому корню 
характеристического уравнения соответствует решение .png){kind=small}
, где 
- собственный вектор матрицы 
соответствующий собственному значению . Для кратного корня, ситуация более сложная, чем при решении одного уравнения. В этом случае число линейно независимых решений системы может быть меньше кратности корня. Если пара собственных корней характеристического уравнения комплексно сопряженные, то и решения тоже комплексно сопряженные. Поэтому можно выделить пару действительных решений. Приведем несколько примеров.
Пример 1 Решить систему дифференциальных уравнений
.
Составим характеристическое уравнение
.png)
Его корни
. Находим собственные , отвечающие этим собственным значениям
Следовательно, можно взять
и решение соответствующее первому собственному значению
. Точно так же, находим собственный вектор отвечающий второму собственному значению:
Решение соответствующее второму собственному значению такое:
.
Наконец, находим третье решение:
Таким образом, третий собственный вектор можно взять
и третье решение:
.
Общее решение запишем в векторном виде:
.
Пример 2 Решить систему дифференциальных уравнений
.
Составляем характеристическое уравнение:
Поскольку система с вещественными коэффициентами, то можно найти решение соответствующее корню
, а другое решение, соответствующее комплексно сопряженному корню будет комплексно сопряженным найденному.
Ищем собственные векторы:
.
Второе уравнение системы не пишем, так как оно линейно зависимое с первым. Можем взять
. Таким образом, решение такое:
. Чтобы найти два вещественных решения, нужно взять действительную и мнимые части полученного комплексного решения
Таким образом, общее решение системы:
.
