Как решать системы линейных уравнений методом обратной матрицы - формула, расчет, вычисление, решение

Правила и методики вычисления систем линейных уравнений является одним из ключевых и важных материалов образовательного курса высшей математики в учебных заведениях. Научиться быстро и правильно вычислять результат СЛУ различными способами может каждый – необходимо только внимательно разобраться в особенностях и понять алгоритм действий.

Система линейных уравнений (СЛУ)

У многих обучающихся, приступивших к изучению высшей математики, часто вызывает недоумение, что число переменных значений в системе уравнений может не совпадать с количеством самих уравнений. Привыкшие к основам алгебры школьной программы, студенты колледжей и университетов сталкиваются с определенными трудностями при изучении математической науки высокого уровня.

Результатом решения СЛУ является определенная последовательность чисел, при замене переменных которыми в результате вычисления получается правильное равенство.

Решить систему уравнений – значит вычислить все возможные значения неизвестных уравнения или доказать, что для данного уравнения значений переменных, при которых получается правильное равенство, не существует. 

Ввиду возможного несовпадения количества неизвестных значений с числом уравнений в системе вероятны три ситауции результата вычислений:

1. Вне зависимости от способа вычисления СЛУ, итогом становится доказательство отсутствия у нее решений. Это говорит о невозможности подобрать последовательность числовых значений, при которых уравнение становится правильным равенством.
2. Систему определяет лишь одно верное значение неизвестного. Самый распространенный и простой в вычислении вариант, знакомый всем школьникам.
3. Система ЛУ характеризуется множеством вариантов решений. При подстановке всех значений последовательности равенство становится верным. Вычисление такого типа систем – самый сложный вариант, требующий наличия базовых математических знаний и развитого логического мышления. В результате вычисления некорректным будет упоминание о наличии множественности допустимых значений. Необходимо дать конкретного уточнение диапазона этих значений.

Неизвестный член Х называют разрешенным в том случае, когда она присутствует лишь в одном уравнении СЛУ и имеет коэффициент единицу. В остальных уравнениях СЛУ коэффициент Х должен быть нулевой. 

Совокупность разрешенных переменных каждого системного уравнения является набором разрешенных переменных всей системы. Записанная таким образом СЛАУ также будет считаться разрешенной.

Определение системы линейных уравнений

СЛАУ называют объединенную совокупность линейных уравнений, содержащую определенное число неизвестных значений. Каждое из них по отдельности имеет название – математическое ЛУ первой степени.

Результатом вычисления системы является совокупность значений, подстановка которых делает всю СЛАУ тождественной. В случае, если СЛУ присуще хотя бы одно значение, ее называют совместной. При отсутствии значений СЛАУ является несовместной. Если количество уравнений в СЛАУ превышает количество неизвестных, то она называется предопределенной.

Введение в метод обратной матрицы

Вычисление способом нахождения обратной матрицы можно использовать, когда число неизвестных в СЛАУ соответствует количеству самих уравнений. Принцип способа заключается в записи уравнения в матричном виде ВХ=а, где В – матрица, сложившаяся из коэффициентов уравнений СЛУ, Х – столбец переменных, а – столбец свободных коэффициентов. Решением данного уравнения будет Х= В^-1*а, где В^-1 – обратная матрица, существование которой возможно только при условии, что ее определитель имеет значение, любое значение, кроме нулевого. Если определитель матрицы равен нулю, данный способ решения не может быть применен. В таком ситуации у СЛУ есть бесконечность решений, или его нет вообще.

Матрицы и их свойства

Матрица ЛУ представляет собой табличную форму записи всех коэффициентов уравнений и свободных членов. С присоединением к матрице столбца свободных членов образуется расширенная матрица, которая характеризуется определенными свойствами:

• СЛАУ считается совместной, если у нее есть минимум одно решение. Наличие единственного возможного решения делает систему определенной, их бесконечное множество– неопределенной.
• Совместность СЛАУ характеризуется исключительным равенством рангов простой матрицы и расширенной.

Результатом вычисления СЛАУ называется одно или бесконечное множество значений переменных, при замене на которые в каждом уравнении СЛУ, все выражения превращаются в верные равенства.

Обратная матрица и условия ее существования

Обратной она называется в том случае, если при ее умножении на изначальную с обеих сторон в результате образуется единичная. Существование обратной матрицы условно и возможно только в том случае, когда определитель матрицы принимает любое значение, не равное нулю. Неквадратные и вырожденные матрицы себе обратных не имеют в принципе.

Система линейных уравнений в матричной форме

Матричная запись СЛАУ наглядно изображается следующим образом:

А * В = Х, где:

• А – матрица системы, состоящая из коэффициентов переменных;
• В – столбец переменных;
• Х – столбец свободных членов.

Если справа от А приписать В, получится расширенная матрица. 

Единственное решение СЛАУ будет иметь только тогда, когда определитель А не равняется нулю. При нулевом значении определителе заниматься вычислением СЛАУ данным способом возможным не представляется.

Формула для нахождения решения системы линейных уравнений через обратную матрицу

Вычисление результат СЛУ методом обратной матрицы осуществляется путем ее перемножения со столбцом свободных членов. Существование ОМ возможно в том случае, если ее определитель не является нулем. В противном случае решение СЛУ данным способом невозможно осуществить.

Условия применимости метода обратной матрицы

Метод ОБ при вычислении значений переменных СЛУ функционален только при соблюдении следующих условий:

• Количество уравнений СЛУ совпадает с числом переменных, что означает наличие у СЛУ квадратной матрицы коэффициентов.
• Невырожденность матрицы при переменных означает, что ее определитель не принимает нулевое значение. 

Равенство матрицы нулю не позволяет решать СЛАУ данным способом.

Примеры расчетов с пошаговым объяснением

Существует множество способов поиска значений неизвестных чисел в СЛАУ. Самый известный и популярный из них – замена. Последовательность действий при нем такова:

1. выражение переменной одного уравнения через другое неизвестное число;
2. подстановка выраженного неизвестного в следующее уравнение СУ;
3. вычисление полученного классического уравнения с одной переменной;
4. подстановка полученного результата в выражение с другой неизвестной.

Вычисление СЛАУ способом обратной матрицы выполняется в данной последовательности:

1. осуществляется запись СЛАУ в матричном виде;
2. из уравнения выражается переменная;
3. производится вычисление матричного определителя, если значение отличается от нуля, делается вывод о допустимости вычисления данной СЛАУ данным способом;
4. осуществляется поиск ОМ посредством союзной.

Удобным для вычисления значений СЛАУ считается метод почленного сложения или вычитания уравнений, алгоритм выполнения которого заключается в последовательности следующих действий:

1. почленное умножение всех уравнений СЛУ на определенное число, при котором в результате коэффициенты одного неизвестного примут противоположные значения;
2. почленное сложение обеих частей каждого уравнения для получения уравнения с одним переменным членом;
3. поиск значения этой переменной;
4. замена найденным значением переменную в одном из уравнений СЛУ и поиск второй переменной.

Поиск результата методом Крамера осуществляется через определитель – числовая запись в квадратной таблице в соответствии с определенными правилами. Для вычисления СЛАУ данным методом необходимо:

1. найти главный определитель и вспомогательные;
2. применить формулу Крамера и вычислить результат.

Метод применим только в случае, если определитель не нулевой.

Вычисление методом Гаусса позволяет быстро найти значение неизвестных в СУ, где число переменных и уравнений больше двух. По своей сути способ напоминает метод замены и заключается в последовательном выполнении следующих вычислений:

1. запись СУ в форме трапеции путем линейных преобразований с коэффициентами расширенной матрицы (строки матрицы складываются или вычитаются, затем элементы строки умножаются на число);
2. последовательное решение упрощенных уравнений обратным методом.

Вычисление переменных значений уравнений от последнего к начальному называется обратный ход метода Гаусса.

Для каждой системы линейных алгебраических уравнений существует несколько матриц, с помощью которых ее можно отобразить в матричной форме. Решить СУ можно путем поиска обратной матрицы к матрице системы. Суть решения заключается в характерном свойстве обратной матрицы, а именно: в результате умножения исходной матрицы на обратную получается единичная матрица.