Как разложить многочлен

Чтобы разобраться в данной теме, в первую очередь, нужно разобраться с основной терминологией. Соответственно, понять, что такое многочлены.

Это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида. Данный термин играет ключевую роль в алгебре как в дисциплине, поэтому стоит понимать детали. Именно благодаря многочленам в дисциплину были введены понятия: «алгебраическое уравнение», «алгебраическая функция» и «алгебраическое число». Благодаря им возможно решение множества поставленных задач, причем как в теории, так и на практике.

Чтобы разложить многочлен на множители, в первую очередь нужно упростить его, а потом сократить. Произведение заданного действия имеет смысл тогда, когда степень выражения не ниже второй. Многочлен с первой степенью — линейный. Разложение в этом случае не производится, поскольку сам процесс бессмыслен. 

Если нужно разложить выражение, то это делается по следующему алгоритму. Далее будет приведена теорема, где подробно объяснен механизм действий. 

Многочлен с произвольной степенью n можно записать в виде следующего выражения: Pn(x)=y_nxⁿ+y_n-1x^n-1+...+y₁x+y0

Следовательно, это   произведение со старшей степенью y_n и n линейными множителями (х−хi), где i=1, 2 и т.д. Из этого можно вывести, следующую формулу: P_n(х)=y_n(х−x_n)(х−x_n−1)...(х−х₁), где x_i, i=1, 2… и n_i=1, 2, ... . Исходя из всего перечисленного, можно сделать вывод, что это и есть корни многочлена.

Чтобы детально разобраться в этой теории, нужно проанализировать доказательство теоремы алгебры и следствие из теоремы Базу.

Основная теорема алгебры: что она собой представляет и когда применяется

Перед тем как переходить к теореме Безу, нужно разобраться, что такое основная теорема алгебры, поскольку она является базой в заданной теме. Теорема сообщает, что любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.  Доказать эту теорему можно с помощью практических примеров.

Важно понимать, что в данном случае подразумевается, что корни могут быть различных видов: как вещественный (или действительный), так комплексный.

Данная теорема впервые встречается в 17 веке в трудах немецкого ученого Петера Рота. Со временем она стала обретать большую популярность, многие математики заинтересовались ею и проводили исследования, связанные с представленной теоремой. Она не теряет актуальность и по наш день.

Теорема Безу: что она собой представляет

Представленная теорема, в свою очередь, говорит, что остаток от деления многочлена P(х) на двучлен (х-y) равен P(y). 

После того как было произведено деление многочлена вида P_n(x)=y_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+...+y₁x+y₀ на (x−s), тогда можно получить остаток, который равен многочлену в точке s.  

У теоремы Безу очень богатая история. По сути она была изобретена никем иным как Исааком Ньютоном в доказательство его теории про число точек пересечения кривых. Однако свое название она получила в честь французского математика Этьена Безу, который жил в середине восемнадцатого века. Именно он в своих трудах впервые опубликовал представленную теорему и доказал ее.

Сейчас теорема Безу является инструментом, которым активно пользуются, если нужно сделать ряд алгебраических вычислений. 

Разбор следствия из теоремы Безу

Из приведенной выше теоремы Безу можно сделать следующее следствие: когда корень многочлена Pn(x) считается a, тогда Pn(х)=y_nxⁿ+yn−₁xⁿ⁻¹+...+y₁х+y₀=(х−a)*Q_n−1(х). Оно в полной мере описывает приведенную выше теорему и делает ее механизм рабочим. 

Как разложить на множители квадратный трехчлен: особенности этого процесса и как он производится.

От теоремы Безу стоит плавно перейти к квадратным трехчленам, а точнее к тому, как разложить их на отдельные множители. Но сначала нужно обратиться к теории и понять, что квадратные трехчлены в целом собой представляют.

Квадратный трехчлен – это многочлен, который записывается в следующем формате: ах2 + bx + с. 

Его можно разложить на линейные множители. В итоге получится, что ах²+bx+с=а (х−х₁)(х−х₂), где х₁и х₂  — это корни

Это решение можно проиллюстрировать рядом конкретных примеров. Достаточно лишь подставить соответствующее выражение в формулу.  Так мы получим четкое решение и подтверждение тому, что формула рабочая. По такой схеме производится разложение аналогичных выражений. Если ответ не получается, то причина этому скорее всего кроется в арифметической ошибке. В таких ситуациях рекомендуется вернуться к началу и перерешать все еще раз.

Как разложить на многочлен множители, если его степень выше второй

Выше была подробно ситуация, где по заданию нужно разложить на множители квадратный трехчлен. Это является самым легким вариантом в этом разделе. В большинстве заданий все гораздо сложнее и необходимо раскладывать на множители выражения со степенью, выше второй.  

Если по заданию нам нужно разложить на множители многочлен степени выше второй, то в этой ситуации также стоит базироваться на теореме Безу, а точнее на ее следствии.

Если нам нужно выполнить заданное действие, то нужно найти значение корня x₁ и понизить его степень. Затем найти корень x₂. Делать это нужно до тех пор, пока не получится полное разложение.

В том случае, если корень так и не был найден, следует применять другие способы разложения на множители, о которых подробно пойдет речь далее. Это более серьезный уровень. эти варианты стоит разбирать в персональном порядке, чтобы понять, какие там есть особенности и каков в целом алгоритм действий. 

Чтобы продемонстрировать теорию на практике, можно решить несколько аналогичных примеров. Делает это по одинаковой схеме, которая была приведена выше. Достаточно лишь подставить числа в приведенную формулу. 

Как поможет в процессе решения вынесение общего множителя за скобки

Для более полного погружения в материал, нужно рассмотреть случай, когда свободный член равен 0. В таком случае многочлен выглядит следующим образом:  P_n(x)=y_nxⁿ+y_(n-1)x^n-1+...+y₁x.

Можно заметить, что корень в такой ситуации также ровняется нулю. Из-за этого можно перевести все выражение в следующий вид: P_n(x)=y_nxⁿ+y_n−1 xⁿ⁻¹+...+y₁x=x(y_nxⁿ−1+y_n−1xⁿ⁻²+...+y₁).

По этому алгоритму можно производить аналогичные разложения. Для получения решений нужно лишь подставить правильные значения в формулу.

Чтобы показать, как это работает, можно привести несложный пример:

Пример №1 Необходимо выполнить разложение 2x3+4x2−x.  

В итоге получим следующее решение:

2x3+4x2−x = х(2x2+4x−1)

2x³+4x²−x = х(2x²+4x−1)

Далее нужно найти корни и дискриминант, чтобы получить верное решение. 

Какие существуют искусственные приемы при разложении многочлена 

Рациональные корни бывают далеко не у всех многочленов. Однако это совсем не значит, что их нельзя разложить на множители, просто в этом случае следует использовать специальные приемы. 

К ним относятся:

• способ группировки;
• формулы сокращенного умножения и бином ньютона;
• замена переменной.

О каждом из этих методов стоит поговорить подробнее, чтобы понять, что он представляет собой. 

Способ группировки: что собой представляет и как применяется на практике

Встречается ряд случаев, когда слагаемые многочлена можно сгруппировывать. Это делается для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки. Данный метод в значительной степени упростит процесс решения.

В качестве примера можно привести следующее выражение.  По заданию необходимо разложить x⁴+4x³−x²−8x−2x⁴+4x³-x²-8x-2 на множители.

При решении этого задания в первую очередь рекомендуется обратить внимание на коэффициенты. Они продемонстрированы как целые числа, из чего можно сделать предположение, что высока вероятность того, что корни также могут оказаться целыми. Это можно проверить простым способом: взять несколько положительных и отрицательных значений и подставить их в уравнение.

При проверке выясняется, что корней нет, а значит надо пользоваться способом группировки. Это делается по следующей схеме:

x⁴+4x³−x²−8x−2=(x²−2)(x²+4x+1)=(x−√2)(x+√2)(x+2−√3)(x+2+√3)

Этот способ пользуется определенной популярностью при решении аналогичных выражений. Основная причина заключается в том, что многие люди считают его слишком простым, однако на практике это не так. Данный метод также обладает множеством нюансов и подводных камней, при решении следует быть максимально внимательными.

Как для разложения многочлена применяются формулы сокращенного умножения и бином Ньютона 

В сложных ситуациях для разложения выражения на множители можно использовать формулы сокращенного умножения и бином Ньютона. Однако прежде стоит понять, что это такое.

Формулы сокращенного умножения —  специальные алгоритмы, которые помогают упростить решение многочлена. 

Чтобы понять, как эта методика работает, можно проиллюстрировать ее простым примером. Если по заданию нужно разложить на множители следующее выражение: x⁴+4x³+6x²+4^x−2, то в итоге мы получим, что 

x⁴+4x³+6x²+4x−2=(x⁴+4x³+6x²+4x+1)−3=(x+1)⁴−3=(x+1)⁴−3=((x+1)²−√3)((x+1)²+√3)=(x+1−⁴√3)(x+1+⁴√3)(x²+2x+1+√3).

По такой же схеме производится вычисление в аналогичных ситуациях.

Как производятся замены переменной и что это действие в целом собой представляет 

Если в процессе разложения многочлена на множители нужно воспользоваться методикой замены переменной, то это происходит по следующему алгоритму: в заданном выражении производится понижение степени и разложение многочлена на множители производится по установленному образцу. 

Этот способ также можно проиллюстрировать на примере простого выражения x⁶+5x³+6. Решение выглядит следующим образом:

x⁶+5x³+6=openy=x³}=y²+5y+6==(y+2)(y+3)=(x³+2)(x³+3)==(x+³√2)(x²−³√2x+³√4)(x+³√3)(x²−³√3x+³√9).

По аналогии производятся и другие вычисления. 

Тема разложения многочленов на множители достаточно сложная. Для ее освоения нужно знать множество деталей, ориентироваться в базовых формулировках, основных теоремах, уметь применять их на практике. Если детально разобраться в теории, то решение конкретных заданий будет происходить в разы легче.