Положительные ряды.теоремы сравнения.

Положительным рядом называется ряд , все члены которого положительны.

Последовательность частичных сумм положительного ряда есть монотонно возрастающая последовательность. Для монотонно возрастающей последовательности критерий сходимости прост: эта последовательность будет сходиться тогда и только тогда, когда она ограничена. Итак:

Положительный ряд всегда имеет сумму. При этом, эта сумма будет конечной (а ряд сходящимся) если последовательность частичных сумм ограничена сверху, и бесконечной (а ряд расходящимся) в противном случае. 

Все признаки сходимости положительных рядов, так или иначе, опираются на это утверждение.

Сходимость или расходимость ряда часто устанавливают путем сравнения этого ряда с другим рядом, про которого известна его сходимость или расходимость.

Теорема сравнения 1. Пусть для двух положительных рядов  и  известно, что  для всех . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда . Обратно, из расходимости ряда  следует расходимость ряда .

Часто вместо теоремы 1 на практике применяют ее следствие:

Теорема сравнения 2. Пусть для двух положительных рядов  и  существует предел . Тогда, если , то ряды  и  сходятся или расходятся одновременно. Если , то сходимость ряда следует из сходимости ряда , а если , то сходимость ряда  следует из сходимости ряда .

Пример 1 Исследовать ряд , где  на сходимость.

При  общий член ряда , то есть на выполняется необходимый признак сходимости, то есть ряд расходится. Пусть . Тогда справедлива оценка , а мы знаем что ряд  - сходится. Следовательно, по теореме сравнения 1, исходный ряд сходится.

Пример 2 Исследовать ряд  на сходимость.

Рассмотрим заведомо сходящийся ряд и найдем предел отношения общих членов этих рядов:  Согласно второй теореме сравнения исходный ряд  сходится, как и ряд .

Пример 3 Исследовать ряд  на сходимость.

Этот ряд называется гармоническим рядом. Покажем, что последовательность частичных сумм этого ряда не ограничена. Рассмотрим частичную сумму . Сгруппируем члены этой суммы следующим образом:    

при . Тем самым мы показали, что последовательность частичных сумм гармонического ряда не ограничена. Следовательно, гармонический ряд расходится.

В теории рядов, пожалуй, самое большое  значение имеет обобщенный гармонический ряд . Дело в том, что с этим рядом удобно сравнивать. Но для этого нужно знать, при каких  этот ряд сходится, а при каких расходится. Справедливо следующее утверждение:

Утверждение. При  обобщенный гармонический ряд сходится, а при  - расходится.

Пример 4 Исследовать ряд  на сходимость.Преобразуем общий член ряда:  

И сравним наш ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом . Найдем отношение общих членов рядов:

Согласно второй теореме сравнения, эти ряды или оба сходятся, или оба расходятся. Но, поскольку ряд  сходится, то сходится и исходный ряд .