Пусть функция 
определена и интегрируема по Риману на любом промежутке 
. Пусть существует следующий предел:
Тогда мы скажем, что несобственный интеграл 
-го рода 
сходится и равен этому пределу:
Если предел не существует, или он бесконечный, то интеграл называется расходящимся.
Аналогично определяется и сходимость и величина несобственного интеграла 
.
Пусть функция определена и ограничена на полуоткрытом промежутке 
, а при 
функция 
неограниченная. Тогда, как интеграл Римана, интеграл 
существовать не может, поскольку при составлении интегральных сумм, произведение 
будет неограниченным. Рассмотрим интеграл по меньшему промежутку:
Если существует предел: 
, то интеграл называется сходящимся, а этот предел называется его значением: 
.
Если же предел не существует или бесконечный, то исходный несобственный интеграл называется расходящимся.
Аналогично определяется сходимость или расходимость несобственного интеграла , если функция неограниченная при 
.
Такого сорта интегралы, от неограниченных функций по ограниченному промежутку называются несобственными интегралами второго рода.
При рассмотрении несобственных интегралов прослеживается аналогия с рядами. Так же как и для рядов имеет место критерий Коши сходимости, а так же признаки абсолютной сходимости.
Критерий Коши. Для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы для любого 
существовало такое число 
, что для всех 
выполнялось неравенство: 
.
Если несобственные интегралы -го или 
-го рода сходятся для функции 
, то они называются абсолютно сходящимися.
Признак сравнения 1. Пусть выполняется неравенство 
, при 
. Если 
сходится, то сходится абсолютно.
Признак сравнения 2. Пусть существует конечный предел 
. Тогда интегралы и 
или оба сходятся или оба расходятся.
Признаки сравнения, да и критерий Коши мы сформулировали для несобственных интегралов первого рода. Их легко можно переформулировать и для несобственных интегралов второго рода.
Чаще всего применяют второй признак сравнения, а сравнивают, как правило, со степенными функциями. Сформулируем такой признак сравнения.
Признак сравнения 3. Пусть мы рассматриваем несобственный интеграл 
и 
. Тогда при 
интеграл сходится, а при 
— расходится.
Признак сравнения 4. Пусть — неограниченная функция при 
и мы рассматриваем несобственный интеграл 
. Пусть . Тогда при 
интеграл сходится, а при 
— расходится.
Приведем примеры.
Пример 1 Исследовать несобственный интеграл на сходимость:
Имеем дело с несобственным интегралом первого рода. Поскольку интеграл находить не требуется, применим признак сравнения 
.
Итак, поскольку 
, то неравенство выполняется, следовательно, интеграл сходится.
Пример 2 Исследовать несобственный интеграл на сходимость:
Имеем несобственный интеграл второго рода. Промежуток 
ограниченный, а функция при 
стремится к бесконечности. Этот интеграл (как неопределенный) в конечном виде не берется, поэтому нам остается только применить признак сравнения , для несобственных интегралов второго рода. Как известно, 
при , следовательно,
Таким образом, интеграл 
расходится, как и интеграл 
Пример 3 При каких значениях параметра
несобственный интеграл
сходится?
Здесь имеется две особенности. Первая — подынтегральная функция может быть неограниченная при , и, кроме этого, промежуток интегрирования неограниченный. Согласно теории, разбиваем интеграл на два:
Для первого интеграла имеем 
.
Следовательно, согласно признаку сравнения 
этот интеграл будет сходиться при 
, то есть при 
.
Рассмотрим теперь второй интеграл. Здесь, поскольку 
, то 
,
второй интеграл будет сходиться при . Поскольку исходный интеграл равен сумме двух рассмотренных интегралов, то он будет сходиться при 
.
