Интегралы вида 
, где 
- рациональная функция переменных 
и 
приводятся к интегралам от рациональных функций нового аргумента 
при помощи универсальной подстановки 
. Из знакомых формул школьной тригонометрии находим: 
, 
Таким образом, получили формулы для замены: 
Пример 1 Найти интеграл
Делаем универсальную подстановку:
По причине своей универсальности, эта подстановка не всегда оптимальна и часто приводит к громоздким выкладкам. В некоторых случаях делают другие подстановки.
Повторим, что если есть возможность сделать одну из этих подстановок, то нужно ее делать, ибо универсальная подстановка приведет к существенно более громоздким выкладкам.
- Если
, то делаем подстановку
.
- Если
, то делаем подстановку
.
- Если
, то делаем подстановку
.
Пример 2 Найти интеграл
Здесь, как ни странно, подходят все три подстановки. Сделаем первую подстановку.
Следует отметить, что в отличие от дифференцирования ответ в неопределенном интегрировании проверяется дифференцированием, то есть достаточно просто:
Проверка..
Пример 3 Найти неопределенный интеграл
.
Здесь перечисленные выше подстановки не подойдут. Воспользуемся школьной формулой:
Имеем:
.
Если подынтегральная функция зависит от 
и 
, то следует применять формулы понижения степени.
Пример 4 Найти неопределенный интеграл
.
Используем формулы понижения порядка:
. Находим:
Отметим, что различные подстановки приводят к совершенно различным по форме ответам. Если вы все делали правильно, то ответ получили тоже правильный, а само сведение одного ответа к другому может быть весьма долгой процедурой. В последнем примере, мы бы могли сделать подстановку из пункта 3 - и получили бы ответ через 
.Он тоже был бы правильный.
