Тангенс – понятие, не связанное с единицами измерения. В школе с ним знакомятся на теме прямоугольных треугольников. Так же как с другими тригонометрическими понятиями – синусом/косинусом, котангенсом. Каждое такое понятие соответствует определённому отношению сторон: катетов – друг к другу или к гипотенузе.
Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Данное определение принадлежит tg острого угла. В углу А рис. 1 построен прямоугольный треугольник АВС.
По данному определению можно написать формулу tg угла А:
Формула №1
Дальше мы выведем формулу tg через отношение, гораздо чаще используемое в тригонометрии и математике, – через отношение других тригонометрических понятий.
Клеточки позволяют измерить стороны прямоугольного треугольника АВС, построенного в угле А. И тогда мы можем записать не только формулу, но и значение:
Если мы дадим определения синуса и косинуса (соответственно: отношение противолежащего катета к гипотенузе и прилежащего катета к ней же), то сможем выразить тангенс через эти понятия:
Отсюда:
А значит:
Определение №2
Тангенс – это отношение синуса к косинусу
В определении 2 нет конкретной привязки к углу (от 0 до 360о) или числу. И справедлива формула:
Где t – некий параметр, называемый аргументом. Возможные значения аргумента tg:
Замечание: выражение справа от знака = в формуле 2 – это значение тангенса. Оно всегда число действительное:
Как найти, например, tg 0? Для этого рассмотрим числовую окружность.
Её радиус = 1, точки на ней отвечают правилам:
Для каждого числа на таком круге есть своя точка. С помощью такой окружности находят значения не только тангенсов-котангенсов, но и синусов с косинусами.
Внимание: 1 по числовой оси ох (чёрным цветом на рисунке) и 1 на числовой окружности (красным цветом на рисунке) – точки на разных объектах (на оси и на окружности).
На числовой окружности удобнее пользоваться не целыми числами, а дробными числами с π:
Двигаться против часовой стрелки (или по часовой) можно n кругов, и каждая точка на круге повторится n раз. Это приводит к главному свойству числовой окружности:
Каждому числу на ней соответствует одна точка, но одной точке tо соответствует много чисел tо + 2πn, n ∈ Z
Координатные оси разбивают круг на 4 четверти, пронумерованные против часовой стрелки (с ростом угла).
Важность определения знаков по четвертям определяется тем, что разные тригонометрические функции имеют разное распределение знаков по четвертям. Знаки распределены следующим образом:
Видно, что tg положителен в 1 и 3 четвертях, а отрицателен – во 2-й и 4-й. Более адекватным для tg будет такое расположение координатных осей:
Такими для угла х являются:
Пример 1. Найти:
Достаточно найти tg в 0 и в π/2, для это воспользуемся тригонометрическим кругом:
Видно, что для косинуса т. 0 на числовой окружности совпадает с т.1 оси cos, а т.1 оси sin совпадает с т. π/2 на числовой окружности. Поэтому:
Перпендикуляр из т.0 на числовой окружности, опущенный к оси sin, попадает в т.0. Перпендикуляр из т. π/2 на числовой окружности к оси cos, попадёт в ту же точку 0. То есть:
Имеем:
Ответ: 0 и ᴓ.
Часто бывает удобно пользоваться осью тангенсов (аналог оси синусов, но проходит через 0 на круге) – в дополнение к тригонометрическому кругу:
Пример 2. Найти tg π/4
Выделяем π/4 на границе круга и соединяем её с началом координат прямой, которая приходит в точку 1 оси tg:
Ответ: 1
Пример 3. Найти tg угла в прямоугольном треугольнике, если квадрат косинуса этого угла равен 0,5.
Поскольку известно, что (cos х)2 = 0,25, то можно воспользоваться формулой:
Ответ: √3
.jpg)
