Вычеты аналитической функции

Пусть точка  — изолированная особая точка аналитической функции , и  — кусочно-гладкая замкнутая кривая Жордана, лежащая в области аналитичности функции . Пусть внутри контура, охватываемого кривой, и на самой кривой нет больше особых точек функции . Согласно теореме Коши значение интеграла

одно и то же для всех таких кривых . Это значение и называется вычетом функции  относительно изолированной особой точки  и обозначается .

Можно показать, что если разложение  в ряд Лорана имеет вид  , то вычет функции  относительно изолированной точки  равен коэффициенту  в этом разложении:

Определим вычет функции  относительно бесконечно удаленной точки. Пусть разложение функции  в некоторой окрестности  такое: . Тогда вычетом в бесконечно удаленной точке является , то есть коэффициенту , взятому со знаком .

Как найти вычет функции относительно изолированной особой точки  этой функции? Если разложение  известно, то это просто соответствующий коэффициент разложения. Но не всегда нам удобно использовать разложение функции в ряд. Есть несколько формул, позволяющих найти вычет не зная этого разложения. 

1. Если  — полюс порядка , то . 
2. В частности, если  простой полюс (то есть ), то формула принимает вид .
3. В случае простого полюса, когда функция представлена в виде , где  имеется простая формула нахождения вычета 
4. Если точка  существенно особая, никакого алгоритма нет, кроме как знать разложение функции в ряд в окрестности точки .

Приведем несколько примеров. В них требуется найти вычеты указанных функций относительно всех изолированных особых точек и относительно бесконечно удаленной.

Пример 1 . Здесь особые точки — нули знаменателя.  — полюс  -го порядка и два полюса первого порядка .

В точке  воспользуемся разложением .

Поскольку коэффициент при   равен , то . Теперь находим вычеты в простых полюсах.

В простых полюсах  воспользуемся формулой пункта 2.

Найдем разложение функции в окрестности бесконечно удаленной точки :  

Мы видим, что в разложении функции в окрестности  нет члена с , то есть коэффициент  равен нулю. Тем самым, .

Заметка  Если функция имеет конечное число особых точек, то сумма вычетов функции относительно всех ее особых точек включая бесконечно удаленную равна .

В нашем примере: . Это свойство можно использовать, как для проверки правильности нахождения вычетов, так и для нахождения вычета в неудобной для вычисления особой точке.

Пример 2  ; . Здесь имеем полюс порядка  в точке . Вычет в этой точке находим по первой формуле.

Чтобы не писать разложение функции можно воспользоваться теоремой о сумме вычетов . Поскольку имеем всего две особые точки  и , то 

Пример 3 . У нас  — существенно особая точка. Больше особых точек нет. Можно сразу сказать, что поскольку данная функция четная, то коэффициенты с нечетными номерами отсутствуют. Следовательно, .

По теореме о сумме вычетов, вычет на бесконечности тоже равен . 

Итак, получили: