19.08.2020
#Математика
42

Вычеты аналитической функции

Ссылка на ГОСТ
Студенческие работы от сервиса №1 в России
Поможем написать диплом, курсовую, реферат и любые другие типы работ. Сделаем качественно или вернём деньги.
Заказать
Содержание статьи
Фирсов В.
Эксперт по техническим предметам

Пусть точка image13 изолированная особая точка аналитической функции Функция, и Кривая Жордана — кусочно-гладкая замкнутая кривая Жордана, лежащая в области аналитичности функции Функция. Пусть внутри контура, охватываемого кривой, и на самой кривой нет больше особых точек функции Функция. Согласно теореме Коши значение интеграла

Интеграл

одно и то же для всех таких кривых Кривая Жордана. Это значение и называется вычетом функции Функция относительно изолированной особой точки image13 и обозначается image41 (1) .

Можно показать, что если разложение Функция в ряд Лорана имеет вид  image39 (1), то вычет функции Функция относительно изолированной точки image13 равен коэффициенту image22 в этом разложении:

image44 (1)

Определим вычет функции Функция относительно бесконечно удаленной точки. Пусть разложение функции Функция в некоторой окрестности image8 такое: image46. Тогда вычетом в бесконечно удаленной точке является image20 , то есть коэффициенту image22, взятому со знаком image24.

Как найти вычет функции относительно изолированной особой точки image13 этой функции? Если разложение  известно, то это просто соответствующий коэффициент разложения. Но не всегда нам удобно использовать разложение функции в ряд. Есть несколько формул, позволяющих найти вычет не зная этого разложения. 

  1. Если image13 — полюс порядка Порядок N, то Формула 1.Вычеты аналитической функции
  2. В частности, если image13 простой полюс (то есть Простой полюс), то формула принимает вид image31 (1).
  3. В случае простого полюса, когда функция представлена в виде image10, где image11 имеется простая формула нахождения вычета image12
  4. Если точка image13 существенно особая, никакого алгоритма нет, кроме как знать разложение функции в ряд в окрестности точки image13.

Приведем несколько примеров. В них требуется найти вычеты указанных функций относительно всех изолированных особых точек и относительно бесконечно удаленной.

Пример 1 image14. Здесь особые точки — нули знаменателя. image15 — полюс  image16-го порядка и два полюса первого порядка image5.

В точке image15 воспользуемся разложением image1 .

Поскольку коэффициент при image2 (1)  равен image3, то image4. Теперь находим вычеты в простых полюсах.

В простых полюсах image5 воспользуемся формулой пункта 2.

image6

image7 

Найдем разложение функции в окрестности бесконечно удаленной точки image8 

image9 (1)

Мы видим, что в разложении функции в окрестности image8 нет члена с image35, то есть коэффициент image22 равен нулю. Тем самым, image37.

Заметка  Если функция имеет конечное число особых точек, то сумма вычетов функции относительно всех ее особых точек включая бесконечно удаленную равна image26.

В нашем примере: image38 (1). Это свойство можно использовать, как для проверки правильности нахождения вычетов, так и для нахождения вычета в неудобной для вычисления особой точке.

Пример 2 image40 (1) ; image42. Здесь имеем полюс порядка Порядок N в точке image43. Вычет в этой точке находим по первой формуле.

image45

image34

Чтобы не писать разложение функции можно воспользоваться теоремой о сумме вычетов . Поскольку имеем всего две особые точки image17 и Бесконечность, то 

Теорема о сумме вычетов

Пример 3 image21. У нас image23 — существенно особая точка. Больше особых точек нет. Можно сразу сказать, что поскольку данная функция четная, то коэффициенты с нечетными номерами отсутствуют. Следовательно, image25.

По теореме о сумме вычетов, вычет на бесконечности тоже равен image26

Итак, получили:

image27

Поможем с написанием учебной работы от 24 часов

Узнайте стоимость
консультации!

Узнайте стоимость онлайн за 1 минуту