Рациональной дробью называется выражение вида 
, где 
и 
- произвольные многочлены степеней 
и 
соответственно. Интегрирование рациональных дробей довольно важный раздел в интегрировании. Дело в том, что интегралы от иррациональных и тригонометрических выражений сводятся к интегрированию рациональных выражений.
Чтобы проинтегрировать рациональное выражение необходимо знать разложение знаменателя на неприводимые множители. Поскольку мы имеем дело с действительными функциями, то неприводимые множители будут иметь вид 
и 
, где 
и 
- натуральные числа.
Процесс интегрирования рациональной дроби есть по сути метод разложения более сложного выражения на сумму простейших дробей и на целую часть (если она есть) и далее интегрирования каждого слагаемого в отдельности. Перечислим этапы интегрирования.
1.Если 
, то дробь неправильная и следует выделить целую часть. Мы рассмотрим пример, на котором продемонстрируем все этапы.
Пример 1 Проинтегрировать рациональную дробь:
. Слепень многочлена числителя
больше степени многочлена знаменателя
. Выделяем целую часть. Производим деление многочленов столбиком. В результате получим:
2. Остаток от деления – правильная дробь. Разложим знаменатель на неприводимые множители и разложим эту правильную дробь на простые дроби. Используем метод неопределенных коэффициентов. Простые дроби отвечающие обоим типам множителей следующие. Множителю знаменателя отвечают простые дроби 
, а множителю отвечают простые дроби 
.
В нашем примере имеем: 
и разложим правильную дробь на простые дроби:
. Такое разложение существует и единственно. Это следует из соответствующей теоремы алгебры. Приводя дроби в правой части к общему знаменателю, мы получаем следующее равенство: 
. Поскольку знаменатели дробей слева и справа равны, то должны равняться и числители. Приравнивая коэффициенты многочленов числителей слева и справа, получим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов:
.
3. Теперь интегрируем получившееся разложение исходной рациональной функции:
. Приведем еще примеры.
Пример 2 Проинтегрировать рациональную дробь:
.
Под интегралом неправильная дробь. Выделяем целую часть
.
Согласно разложению знаменателя на множители
, запишем правильную дробь (остаток) в виде суммы простых дробей с неопределенными коэффициентами:
.
Приводя подобные члены в многочлене числителя в правой части, и, приравнивая коэффициенты многочленов числителей слева и справа, получим систему для определения неизвестных коэффициентов:
. Теперь интегрируем:
.
В некоторых случаях интеграл от рациональной функции можно упростить, а затем применять теорию интегрирования рациональных функций.
Пример 3 Проинтегрировать рациональную дробь:
. Здесь сделаем предварительно замену
, тогда
:
. Интеграл существенно упростился.
Раскладываем подынтегральное выражение на простые дроби и интегрируем. В самом конце переходим к переменной 
. 
.
