Квадратное уравнение с комплексными корнями

Всем известно из школы квадратное уравнение: 

                                              ,

поиск дискриминанта и решение вопроса: имеет ли квадратное уравнение корни или корень или нет. Как следует из основной теоремы алгебры, любое уравнение  - ой степени имеет ровно  корней с учетом кратности этих корней. Таким образом, любое квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет ровно два корня. При этом кратные корни в комплексном анализе считаются ровно столько раз, какая у них кратность.

Утверждение. Пусть коэффициенты многочлена  - ой степени

– действительные и  его комплексный корень, тогда  тоже является корнем этого многочлена.

Доказательство. Перейдем к комплексному сопряжению в равенстве :  , так как . Поскольку коэффициенты многочлена действительны, то:   .

Получили  , следовательно,  - также корень многочлена  .

Если коэффициенты квадратного трехчлена действительны, а дискриминант отрицательный, то пару сопряженных корней можно найти через дискриминант.

При этом в формуле 

нужно учесть что   .

Пример 1 

Решить квадратное уравнение с действительными коэффициентами:   .

Решаем по «половинной» формуле:  .

Если квадратный трехчлен имеет хотя бы один не действительный коэффициент, то корни не будут комплексно сопряженными.

Пример 2

Рассмотрим уравнение с комплексными коэффициентами: 

Решаем через дискриминант. . 

Таким образом, - корни нашего уравнения.

Пример 3 

Решить квадратное уравнение: 

Опять используем школьную формулу решения. Находим дискриминант: 

Чтобы извлечь корень из дискриминанта обратимся к формуле извлечения корня   ой степени из комплексного числа. Если   , то корни  ой степени  из  имеют вид:

В нашем случае  .

Так что корни такие: 

Теперь запишем корни исходного квадратного уравнения: .