Гиперболические функции определяются через экспоненциальную функцию:
.
Определим обратные функции к ним. Сначала определим гиперболический косинус.
.
Теперь находим 
:
.
Получили формулу гиперболического арккосинуса:
.
Точно так же находятся формулы для остальных обратных гиперболических функций:
Гиперболический арксинус:
.
Гиперболический арктангенс:
.
Гиперболический арккотангенс:
.
Приведем ряд примеров.
Пример 1 Решить уравнение
. Имеем:
Здесь получаем два ответа в зависимости от знака перед корнем:
Объединяя эти два ответа в один получим
Пример 2 Решить уравнение
По определению гиперболических функций. Остается решить уравнение
Пример 3 Решить уравнение
Распишем гиперболические функции по определению:
, где
.
Получаем квадратное уравнение относительно
:
Имеем два решения:
и
