Вычисление площадей поверхностей вращения

Вообще-то площади пространственных тел находятся при помощи двукратных интегралов. Но, для поверхностей, образованных вращением гладкой кривой вокруг некоторой оси, площадь определяется через определенный интеграл. В частности:

Площадь поверхности, образованной вращением гладкой кривой  вокруг оси 

где  меняется на отрезке  находится по формуле:

.

Более общая формула: пусть пространственная кривая  задана параметрически: . Предполагается, что функции непрерывно дифференцируемы. Пусть нам нужно найти площадь поверхности фигуры получаемой вращением данной кривой вокруг некоторой оси. Тогда искомую площадь можно найти по формуле:

,

где  - расстояние от точки кривой  до оси вращения, а  - дифференциал дуги .

Приведем примеры.

Пример 1 Найти площадь поверхности вращения кривой  вокруг оси .

Здесь применяем первую формулу. У нас  на . Дифференциал дуги: , так что получаем:

.

Пример 2 Найти площадь поверхности вращения одной арки циклоиды  вокруг осей  и .

1. Сначала находим площадь фигуры вращения вокруг оси . Расстояние до оси  равно , а дифференциал дуги:.Находим площадь:  .
2.  Теперь найдем площадь фигуры вращения вокруг оси . Дифференциал дуги тот же, что и в первом случае, а расстояние до оси  равно  при . Находим площадь:    .

Пример 3 Найти площадь поверхности полученной вращением кардиоиды относительно левой вертикальной касательной к этой кривой.

 Найдем уравнение этой вертикальной касательной. Запишем уравнение кардиоиды в параметрическом виде, взяв в качестве параметра . Имеем:

.

Для вертикальной касательной должно выполняться условие: . Найдем значения параметра  при которых это условие выполняется:

при , а так же при  (точка  на рисунке) и  (точка  на рисунке). Для обеих точек . Находим дифференциал дуги кардиоиды:

Расстояние от произвольной точки кардиоиды  до прямой  равно:

.

Теперь найдем площадь поверхности:     

Здесь промежуток такой, что модуль раскрывается со знаком  при  и со знаком  если . Из рисунка видно, что мы можем рассмотреть интеграл при , и его удвоить:

.