Иррациональные числа

Иррациональные числа можно определить как действительные числа, которые не являются рациональными. Зачем же вводятся иррациональные числа, если все бухгалтерские расчеты, да и не только они: все вычисления на калькуляторах, и т. д. делаются с применением только конечных десятичных дробей? 

Дело в том, что взяв, например , мы в одной задаче получим требуемую точность, а в другой нет. Кстати доказательство иррациональности того или иного числа не всегда просто. Древних греков (математиков) очень удручал тот факт, что длина диагонали квадрата со стороной равной единице есть иррациональное число. Покажем это.

Пример 1 Доказать, что  есть число иррациональное.

Предположим противное, то есть - несократимая дробь. Из этого равенства следует, что . Это равенство противоречиво, так как множитель в правой части равенства будет в нечетной степени, а в левой части равенства – в четной.

Подобный прием используется для решения более сложных по виду задач.

Пример 2 Доказать, что  есть число иррациональное.

Аналогично примеру 1 можно было бы доказать, что иррациональное число. Но сумма двух иррациональных чисел не обязательно иррациональна, как следует из примера . Поэтому будем действовать по алгоритму с суммой чисел.

Итак, предположим противное: . Возведем равенство в квадрат и преобразуем: 

То есть - рациональное число. Из этого равенства, возведением в квадрат опять получаем противоречивое равенство: , из которого следует, что простые множители и входят в левую часть в нечетной степени, а в правую – в четной.

Пример 3 Показать, что число  - основание натуральных логарифмов является иррациональным.

Чтобы это показать, воспользуемся представлением числа через ряд 

Из этого представления следует формула: 

, где .

Из этого равенства выведем, что число - иррационально. Предположим противное, пусть . Запишем равенство и умножим обе части этого равенства на . Получим:

Это равенство противоречиво, так как справа стоит целое число, а слева сумма целого числа и не целого. Следовательно, предположение о рациональности числа - не верно.

А вот доказательство иррациональности числа довольно сложное и использует достаточно тонкие рассуждения, а также аппарат интегралов зависящих от параметра.

Что касается десятичных представлений иррациональных чисел. То тут следует запомнить следующее. Действительные числа суть конечные или бесконечные десятичные дроби. Если у десятичной дроби после запятой ничего нет, то это целое число. Если десятичная дробь конечная или бесконечная периодическая: , то это рациональное число. И, наконец, бесконечная непериодическая десятичная дробь определяет иррациональное число.

Пример 4 Числа или   являются иррациональными.

Пример 5 Доказать равенство .

Здесь, не мудрствуя, возведем обе части равенства в третью степень: 

Получили тождество. Следовательно, и исходное равенство было верным.

Пример 6 Найти значение числового выражения: .

Эта задача сложнее предыдущей задачи, потому что не очень понятно как решать. Разберемся с первым корнем. Попробуем представить подкоренное выражение  в виде квадрата

 .

Получили систему уравнений относительно и : . Отсюда и . Искомое представление . Точно так же . А теперь извлекаем квадратные корни помня, что : 

Пример 7 Может ли иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным числом?

Эту задачу вообще непонятно как делать. Однако она имеет очень оригинальное и главное короткое решение.

Рассмотрим число . Если это число рациональное, то ответ на вопрос задачи: может. Если это число иррациональное, то возведем его в иррациональную степень : 

и в этом случае ответ: может.