Основные теоремы дифференциального исчисления

К основным теоремам дифференциального исчисления относятся теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Опираются они на лемму (теорему) Ферма. 

Лемма Ферма Если функция  определена на , достигает максимума или минимума в некоторой внутренней точке  и дифференцируема в этой точке, то  .

Доказательство. Предположим противное, то есть  и пусть, для определенности . Рассмотрим производную справа в точке :

.

По определению предела это означает, что найдется окрестность точки , в которой , то есть.

Точно также, рассматривая левую производную , мы получим, что в некоторой левосторонней окрестности .

Другими словами в некоторой правосторонней окрестности точки  значения функции больше , а в левосторонней окрестности меньше . Это противоречит определению экстремума. Тем самым лемма доказана.

Теорема Ролля Пусть  определена и непрерывна на , дифференцируема на и. Тогда найдется точка  в которой  

Доказательство. Имеем два случая: или функция тождественно равна  на , или найдутся точки из   в которых функция или больше чем  или меньше чем . В первом случае функция постоянна на  и, следовательно, теорема верна. 

Рассмотрим второй случай. Пусть для определенности в некоторой точке промежутка имеем . Функция непрерывная на  должна в некоторой точке принимать наибольшее значение. Согласно лемме Ферма

Теорема Лагранжа Пусть  определена и непрерывна на  и дифференцируема на. Тогда найдется точка , что .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию 

.  

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: она непрерывна на , дифференцируема на и, наконец, . Следовательно, должна найтись точка (см. рисунок), в которой . Но . Отсюда получаем, что .

На рисунке виден геометрический смысл теоремы Лагранжа: если точки и соединены гладкой кривой, то на этой кривой найдется точка , в которой касательная будет параллельна хорде .

Теорема Коши 

 Пусть  и  определены и непрерывна на , дифференцируемы на  и  на . Тогда существует точка ,

такая что  .

Доказательство. Как и в доказательстве теоремы Ролля, введем вспомогательную функцию

.

Так как на , то , иначе мы пришли бы к противоречию с теоремой Ролля. Функция  непрерывна на , дифференцируема на  и . Следовательно, по теореме Ролля, найдется точка в которой .

Получаем .

Отсюда .

В заключении заметим, что теорема Коши не так наглядна, как предыдущие теоремы. Однако, она нужна для обоснования правила Лопиталя.