.Определение Пусть функция дифференцируема на
, причем функция
тоже дифференцируема. Тогда производная от функции
называется второй производной от функции
и обозначается
.
Аналогично определяются и производные более высоких порядков. А именно:
Формула Пусть определена производная порядка N от функции
(обозначение
) и функция
определяется по формуле
.
Как правило, производная нужного порядка определяется поэтапно. Сначала определяем первую производную, затем вторую, третью и т. д., пока не дойдем до нужной производной. В некоторых случаях можно воспользоваться легко выводимыми формулами. Приведем их:
Формула 1 Пусть
. Тогда
. В частности, если
, то
.
Формула 2 Пусть
. Тогда
. Вывод этой формулы можно сделать, используя метод математической индукции и школьные формулы приведения.
Формула 3 Пусть
. Тогда
.
Формула 4 Пусть
. Тогда
.
Формула 5 Пусть
. Тогда
.
Формула 6 Кроме этих формул, бывает полезна формула Лейбница для вычисления N-ой производной от произведения функций:
.
Формулу Лейбница можно доказать так же как и формулу бинома Ньютона. Да и вид у них похожий. В заключении приведем несколько примеров вычисления производных N-го порядка.
Пример 1
. Применяем формулу 5 и дифференцирование сложной функции:
, поскольку функция у нас зависит не от
, а от
.
Пример 2
. Поскольку уже вторая производная от функции Х равна 0, то в формуле 6 только два члена будут отличны от нуля:
.
