При интегрировании рациональной дроби, на последнем этапе нужно проинтегрировать простые дроби. К простым дробям относятся дроби следующих четырех типов.
.png)
, 
, .png){kind=small}
, 
.
Для третьего и четвертого типов предполагаем, что отрицательный: 
.
Рассмотрим отдельно интегрирование каждого из четырех типов функций:
Здесь интеграл практически табличный:
.
И для этих дробей интегрирование не вызывает затруднений: 
Здесь теория рекомендует сделать сначала замену 
, после чего применить метод разложения. Покажем решение на примере:
Пример 1 Найти интеграл
. Имеем:
Можно не заморачиваться с заменой, а сделать следующим образом (обычно делают именно так):
Пример 2 Проинтегрировать простую дробь:
.
Здесь мы получим рекуррентное соотношение, позволяющее свести исходный интеграл к интегралу с меньшей степенью знаменателя. Пусть в интеграле от дроби
, и свели исходный интеграл
к линейной комбинации двух интегралов:
и
. Первый интеграл находится сразу методом внесения под знак дифференциала:
.
Второй интеграл обозначим
и получим для него рекуррентную формулу, то есть формулу позволяющую найти интеграл индекса
, через интеграл индекса
. Применим формулу интегрирования по частям:
.png)
Выразим интеграл
через интеграл
Пример 3 Найти интеграл
, используя рекуррентную формулу.
Интеграл
- табличный. Находим интеграл
:
Теперь находим интеграл
:
.png)
.png)
.png)
.png)
