Предел функции в точке

Дадим определение предела функции в точке.

Пусть функция   задана в некоторой окрестности точки  , то есть для всех точек, где  некоторое число.  Тогда пределом функции 

в точке   называется такое число  , что для любого  существует такое   , что для всех точек   выполняется неравенство:  .

Определением предела тесно связано понятие непрерывной функции. Функция  .

называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и равен  . То есть, функция должна еще быть определенной в точке .

Имеет место следующее фундаментальное свойство элементарных функций:

Элементарные функции непрерывны в тех точках, в которых определены, то есть в точках своей области определения. Пусть область определения представляет собой, например отрезок  .

Дадим определение односторонних пределов и непрерывности слева и справа в точке.

Пусть функция  задана в некоторой правосторонней окрестности точки  , то есть  в точках  , где   некоторое число. 

Тогда пределом функции    справа в точке   называется такое число  , что для любого  существует такое  , что для всех точек   выполняется неравенство:  .

Точно так же определяется предел функции слева:

Пусть функция  задана в некоторой левосторонней окрестности точки , то есть в точках   , где  некоторое число. Тогда пределом функции  

слева в точке   называется такое число  , что для любого   существует такое   , что для всех точек  выполняется неравенство: .

Функция   называется ,непрерывной справа в точке    если предел этой функции справа в этой точке существует и равен  . Точно так же,    называется непрерывной слева в точке  , если предел этой функции слева в этой точке существует и равен  .

Таким образом фраза функция непрерывная на отрезке  означает, что функция непрерывна но   а непрерывность в концах отрезка предполагается односторонняя. В точке   функция является непрерывной справа, а в точке   - функция непрерывна слева.

Для вычисления пределов функций имеются простейшие теоремы о пределах:

Это так называемые теоремы, связанные с арифметическими действиями: 

Пусть при   существуют конечные пределы:  и   .

Тогда 1). Существует предел суммы (разности) функций 

2). Существует предел произведения функций: 

3). Существует предел частного (если предел знаменателя не равен 0):  

Эти теоремы позволяют вычислить не все пределы. В некоторых ситуациях эти теоремы не применимы. Такие пределы называются неопределенностями, а их нахождение – раскрытие неопределенностей. Основные неопределенности следующие: 

Здесь приходится применять некоторые приемы вычисления пределов. Например если при  у нас есть  неопределенность вида , а именно многочлен деленный на многочлен (рациональная дробь), то следует выделить скобку – множитель   в числителе и знаменателе, затем сократить на эту скобку и попробовать опять перейти пределу пользуясь теоремой о пределе частного.

Пример  Найти предел: 

Тот же предел можно найти используя правило Лопиталя: 

Правило Лопиталя. Пусть нам нужно вычислить предел   и существует предел   . Тогда исходный предел  тоже существует и равен пределу .

Применим правило Лопиталя для нашего примера.

Кроме основных теорем о пределах и правила Лопиталя применяют первый замечательный предел :  ,  второй замечательный предел  и их следствия:  ,  ,  ,  ,  ,   .