Производная и дифференциал

Производная функции и дифференциал являются базовыми понятиями математического анализа. Дадим определение производной. 

Производная функции

Определение 1 Пусть некоторая функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда следующий предел , если он существует, называется производной функции в точке .

Величину называют приращением аргумента, а приращением функции.

Обозначают производную в точке через  .

На первых порах производную находят непосредственно. Для этого выражение под знаком предела преобразуют, и переходят к пределу. Отметим, что выражение-дробь под знаком предела есть неопределенность вида . Приведем пример:

Пример 1 Найти производную функции . Имеем 

Взятие производной функции, так называемое дифференцирование, довольно алгоритмический процесс. Для этого используют правила дифференцирования ( суммы, произведения , частного функций и сложной функции) и таблицу производных простейших элементарных функций.

Пример 2 Найти производную функции . Воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций и таблицей производных 

 С понятием производной функции тесно связано понятие дифференциала функции. 

Определение 2 Дифференциалом функции  называется выражение .

Пример 3 Найти дифференциал функции  Имеем