Правило Лопиталя

Правило Лопиталя это правило, позволяющее находить пределы используя производные функций.

Правило Лопиталя имеет четыре варианта.

Правило 1. Пусть нам нужно вычислить предел и существует предел . Тогда исходный предел тоже существует и равен пределу .

Правило 2. Пусть нам нужно вычислить предел и существует предел . Тогда исходный предел тоже существует и равен пределу .

Правило 3. Пусть нам нужно вычислить предел и существует предел . Тогда исходный предел  тоже существет и равен пределу .

Правило 4. Пусть нам нужно вычислить предел и существует предел . Тогда исходный предел тоже существует и равен пределу .

К применению правила Лопиталя следует относиться внимательно, и каждый раз проверять, что имеем дело с неопределенностями. Рассмотрим несколько примеров. Применение правила Лопиталя будем обозначать .

Пример 1 Найти предел .

При подстановке числитель и знаменатель обращаются в , то есть мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Раскладывать числитель и знаменатель на множители, выделяя скобку долго. Поэтому применим правило Лопиталя: .

Пример 2 Найти предел .

Здесь имеем неопределенность вида . Забегая вперед отметим важное свойство функции . При эта функция стремится к бесконечности медленнее, чем любая степень числа . 

Пример 3 Найти предел . Здесь имеем неопределенность вида . Чтобы применить правило Лопиталя перейдем к логарифму этого выражения

 .

Пример 4 Найти предел . Имеем неопределенность . Применяем правило Лопиталя:

Пример 5 Найти предел . Имеем неопределенность . Применяем правило Лопиталя:

.

В двух последних примерах мы просто убирали множители стремящиеся к из под знака предела, применяя тем самым теорему о пределе произведения.

В некоторых примерах нужно правило Лопиталя применять не один раз. При этом при каждом применении правила Лопиталя нужно убеждаться, что мы имеем дело с неопределенностью.

Пример 6 Найти предел . Судя по знаменателю, нам нужно будет применить правило Лопиталя три раза. Имеем: .