Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными это уравнения вида: 

или, что то же самое. Эти уравнения имеют такое название, потому что для их решения нужно лишь разделить переменные, а затем проинтегрировать обе части. В результате получится общее решение, правда обычно в неявном виде. При этом можно не заморачиваться и не выражать функцию  явно.  Неявное выражение называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Следует также помнить, что при делении на  могут быть утеряны решения. Их нужно проверить.

Пример 1 Решить дифференциальное уравнение  

Разделяем переменные и интегрируем

.

При делении на  мы потеряли решение .

Итак, получили следующее общее решение: .

Пример 2 Решить дифференциальное уравнение: 

Разделяем переменные и интегрируем:

.

При делении на  мы потеряли два решения  и . (легко убедиться, что это решения).

Таким образом, получили следующее общее решение .

Отметим, что к уравнениям с разделяющимися переменными стараются свести большинство дифференциальных уравнений первого порядка.

Например, уравнения вида  приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой  или , Где  — любая константа.

Пример 3 Решить дифференциальное уравнение: 

Сделаем замену: . Тогда . Подставляем в уравнение:

.

Рассмотрим первый интеграл .

Выражая  через исходные переменные, получим окончательно общее решение:

.