Линейные уравнения с переменными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением  -го порядка назовем дифференциальное уравнение вида:

.

Поиск общего решения может быть довольно труден и решение такого уравнения не всегда можно найти. Тем не менее, некоторые приемы и соображения могут быть полезны при поиске общего решения. При поиске решения, мы можем найти некоторые частные решения. Их нужно проверять на линейную независимость.

Как и в случае линейных уравнений с постоянными коэффициентами сначала следует найти общее решение однородного уравнения , а затем, методом вариации постоянных, найти частное решение неоднородного уравнения. Как и в случае уравнений с постоянными коэффициентами общее решение исходного неоднородного уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Если для уравнения с постоянными коэффициентами нахождение общего решения однородного уравнения было алгоритмически простым, то для уравнения с переменными коэффициентами это представляет основную трудность. Мы ограничимся здесь однородными уравнениями  -го порядка

Здесь имеется два момента. Во-первых, нужно найти хотя бы одно частное решение . Тогда в уравнение следует подставить  , после чего порядок уравнения понижается заменой :

Приведем несколько примеров. 

Пример 1  Решить уравнение:  .

Вид коэффициентов уравнения позволяет надеяться, что частным решением может быть многочлен. Пусть это многочлен степени . Не уменьшая общности можно считать, что он начинается с члена . Подставляя в уравнение  получаем:

 

   Если  -решение, то необходимо чтобы все коэффициенте при многочлене слева обратились в  . В частности, коэффициент при старшем члене: 

.

Итак, частное решение мы можем искать лишь среди многочленов  второй и третьей степени. Ищем частное решение в виде . Подставляем в уравнение:

   

Собираем подобные члены слева:

 .

Приравниваем коэффициенты при многочлене нулю и находим: . То есть мы нашли одно частное решение: .

Можно попытаться найти частное решение и среди многочленов третьей степени. Аналогичный поиск приводит к еще одному частному решению . Нам даже не понадобилось понижать порядок, мы нашли фундаментальное семейство решений . Запишем общее решение уравнения:  .

Пример 2  Решить уравнение: .

Попробуем найти частное решение среди многочленов: . Подставляем в уравнение, получим:

.

Приравниваем коэффициент при старшем члене многочлена нулю:

 . При получаем решение . Можно найти и второе частное решение при  , но мы пойдем по пути уменьшения порядка дифференциального уравнения. Мы сделаем замену . Получим уравнение:

.

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем: получаем  .

Отсюда общее решение исходного уравнения:

.