Сумма, разность, произведение многочленов

Введем понятие одночлена и многочлена.

Одночленом мы назовем произведение чисел и переменных, например: .

Стандартным видом одночлена назовем такое представление этого одночлена, когда на первом месте стоит числовой множитель, а далее идут степени переменных.

Пример 1 Найти стандартный вид одночлена .

Используя определение степени и коммутативность умножения находим: .

Многочленом называется сумма одночленов.

Члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными членами.

Приведем пример многочлена: .

Сумму подобных членов многочлена можно заменить одночленом. Такое тождественное преобразование называется приведением подобных членов.

Многочлен имеет стандартный вид, если каждый его член имеет стандартный вид, и у многочлена нет подобных членов.

Пример 2 Приведем многочлен к стандартному виду. Здесь подобные члены первый с четвертым, а так же второй с пятым. Оформим это приведение подобных членов:.

Как провести сложение многочленов? Нужно записать оба многочлена в скобках, а затем просто скобки убрать и привести подобные члены. Поясним это на примере:

Пример 3 Сложить многочлены: и . Складываем: .

Чтобы провести вычитание многочленов нужно раскрыть скобки перед вторым многочленом. Перед скобкой стоит знак минус. Мы убираем скобки, а члены в той скобке, перед которой был знак минус, берем с обратными знаками. Покажем на примере:

Пример 4 Найти разность многочленов , где  и . Имеем: .

Определим умножение многочленов. Сначала определим умножение многочлена на одночлен.

Правило простое: чтобы умножить одночлен на многочлен нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и сложить полученные произведения.

Пример 5 Найти произведение одночлена  на многочлен . Имеем: .

Пусть теперь нам нужно один многочлен умножить на другой многочлен. Здесь можно представить умножение в два этапа (так обычно на практике и поступают). Мы считаем один из многочленов одночленом и умножаем его на все члены другого многочлена, а затем, в свою очередь, имея несколько произведений одночленов на многочлен, опять производим умножение одночленов на многочлен. Приведем пример.

Пример 6 Найти произведение многочленов и . Согласно предложенному алгоритму имеем: .

Как происходит практически умножение перемножение многочленов? Фиксируют внимание на первом одночлене первого многочлена (можно под ним поместить палец) и умножают его на другой многочлен. Затем берут второй одночлен, умножают его и так далее. Нужно быть очень внимательным: не забыть ни одного умножения и конечно не терять знаки. Это быстрый способ и при отсутствии достаточной сноровки часто ведет к ошибкам. Продемонстрируем оба этих способа на примере.

Пример 7 Найти произведение многочленов и .

Медленно:  .

Быстро: .

Если вы только научились умножать многочлены, то следует действовать медленным способом. По крайней мере, при медленном способе легче искать ошибки.

В некоторых случаях, для упрощения выкладок объединяют группы одночленов и используют формулы сокращенного умножения.

Пример 8 Найти произведение многочленов .

Сгруппируем члены следующим образом и применим формулу разности квадратов. Получим: .

Если скобок несколько, например, три, то, можно, используя ассоциативность умножения, умножить сначала первую скобку на вторую, а затем, результат этого умножения умножить на третью скобку.

Пример 9 Найти произведение многочленов .

Перемножим первую и вторую скобки, затем соберем в них подобные члены, а уж затем умножим то, что получилось на третью скобку: 

Последним действием мы привели подобные члены.