Нахождение пределов функции. Примеры

Для нахождения предела функций мы имеем несколько теорем связанных с арифметическими действиями: Пусть при существуют конечные пределы:  и . Тогда 

1. Существует предел суммы (разности) функций: 

2. Существует предел произведения функций: 

3. Существует предел частного (если предел знаменателя не равен 0): .

Эти теоремы позволяют вычислить не все пределы. В некоторых ситуациях эти теоремы не применимы. Такие пределы называются неопределенностями, а их нахождение — раскрытие неопределенностей. Основные неопределенности следующие: .

Имеются свои приемы для раскрытия неопределенностей. На следующих примерах мы познакомимся с основными такими приемами.

Пусть мы имеем отношение двух многочленов, и аргумент стремится к бесконечности. Тогда имеем неопределенность  и справедливо следующее правило:

1) 

Пример 1 , так как степень многочлена числителя больше степени многочлена знаменателя.

Пример 2 , так как степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя.

Пример 3   — отношение коэффициентов при старших степенях многочленов числителя и знаменателя, так как эти степени совпадают.

Пусть мы имеем отношение двух многочленов, и аргумент стремится к числу  , и, при этом, числитель и знаменатель стремятся к . Имеем неопределенность вида . В этом случае и числитель и знаменатель можно разложить в виде произведения двух многочленов, один из которых двучлен . Сократив дробь на эту скобку мы переходим к пределу.

Пример 4 

Следующий тип задач отнесем к применению первого замечательного предела: 

Это раскрытие неопределенностей .

Пример 5 

Здесь мы воспользовались тем, что и вынесли этот множитель из знаменателя.

 Следующий тип задач связан с раскрытием неопределенностей . Здесь применяем второй замечательный предел.

Пример 6 

Неопределенности вида сводят к неопределенностям вида   или .

Пример 7 

.

Неопределенности вида (то есть показательно — степенные) лучше всего сводить к неопределенностям  ,   логарифмированием. Далее, обычно применяется правило Лопиталя.

Пример 8 Найти предел . Найдем предел логарифма от этого выражения .

Применяем правило Лопиталя: . Следовательно, исходный предел равен  .