Формулы производных

Дадим сначала определение производной функции в точке.

Определение 1  Пусть некоторая функция   определена в окрестности точки , то есть для некоторого функция определена в точках промежутка. Тогда производной функции в точке  назовем следующий предел, если он существует:   .

Отметим, что данный предел является неопределенностью вида , и для произвольной элементарной функции может быть вычислен непосредственно. Однако так на практике не поступают. Для вычисления производной используют таблицу производных простейших элементарных функций:

А также несколько правил вычисления производной. Поскольку любая элементарная функция представляет из себя сумму, произведение, частное или суперпозицию более простых элементарных функций, то процесс вычисления производной от элементарной функции имеет весьма несложный алгоритм. Приведем правила вычисления производных:

Формула 1 

А так же особо выделим правило вычисления производной сложной функции или суперпозиции:

Формула 2 

Таблицу производных, а так же правила вычисления производных назовем формулами производных. Дадим несколько примеров применения этих формул. 

Пример 1 Найти производную функции . Здесь применяем правило дифференцирования сложной функции, а также формулы из таблицы производных для косинуса, логарифма и степенной функции:

 .

Пример 2 Найти производную функции . Здесь применим правило дифференцирования произведения, а так же формулы для дифференцирования котангенса и арксинуса из таблицы производных:

 .

Пример 3 Найти производную функции . Здесь применим правило дифференцирования частного, а так же табличные производные от экспоненты и синуса:

 .

Пример 4 Найти производную функции . Применим правила дифференцирования суммы, сложной функции, а из таблицы производных воспользуемся производной показательной функции, степенной функции и арктангенса:

 .