Второй замечательный предел

В теории функций действительной переменной большую роль играют два замечательных предела и их следствия. Именно они позволяют доказать формулы производных простейших элементарных функций, то есть таблицу производных. Сам второй замечательный предел формулируется так: 

 .

Здесь   некоторое иррациональное трансцендентное число, определяющееся именно этим пределом. Чем же хорошо это число, да и сам второй замечательный предел? Дело в том, что без этих вот числа и предела мы не смогли бы найти производные показательных и логарифмических функций, да и производную произвольной степенной функции , где — произвольное действительное число, мы бы не определили.

Само доказательство этого предела проходит в несколько этапов. Полного доказательства мы здесь приводить не будем (оно есть во всех достаточно полных учебниках по математическому анализу), а дадим общую схему доказательства и доказательство первого этапа.

1. Сначала рассматривается последовательность . Покажем, что она монотонно возрастающая и ограничена числом . Чтобы понять что эта последовательность монотонно возрастает, сравним два соседних члена: 

. Во второй строке членов на один больше и если первые два члена в разложении  и  совпадают, то начиная с третьего члена, в строке  члены больше. Таким образом последовательность  монотонно возрастает. Покажем, что она ограничена числом . 

Имеем: 

По теореме о монотонно ограниченной последовательности она имеет предел. Он и называется числом  .

2. Затем доказывается, что . И наконец, 

3. доказываем, что .

Из второго замечательного предела легко установить два важных следствия:

1) 

2) 

Покажем, как из этих свойств получаются табличные производные.

Пример 1 Вывести формулу производной показательной функции . 

Согласно определению производной функции имеем: 

Пример 2 Вывести формулу производной логарифма . Выведем сначала формулу для производной натурального логарифма  . Имеем 

Теперь, используя правила дифференцирования и связь логарифмов с различными основаниями, находим: .

Второй замечательный предел позволяет находить пределы — Неопределенности вида . Покажем это на следующих примерах:

Пример 3 Найти предел .

Имеем неопределенность вида . Преобразуем и воспользуемся свойствами степеней и пределов: 

Пример 4 Найти предел 

Опять имеем неопределенность вида . Преобразуем выражение под знаком предела:

.