Однородные линейные дифференциальные уравнения

Однородным линейным дифференциальным уравнением называется уравнение вида: .Мы здесь будем рассматривать только однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

.

Дадим несколько определений. 

Система   функций   определенная на промежутке  называется линейно зависимой, если существует такой набор констант   , что 

В противном случае система   функций называется линейно независимой.

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, имеют  линейно независимых решений, . Общее решение (назовем его ) имеет вид произвольной линейной комбинации этих решений:

  .

Такая система линейно независимых решений  называется фундаментальной системой решений данного однородного уравнения. По аналогии с   мерным пространством мы видим, что эта система решений может быть выбрана достаточно произвольно, нужно лишь следить за тем, чтобы функции  были решениями рассматриваемого дифференциального уравнения, и чтобы они были линейно независимы.

Сам метод нахождения фундаментальной системой решений прост в идейном смысле. Мы рассматриваем характеристическое уравнение, связанное с дифференциальным уравнением:

Пусть мы нашли все корни характеристического уравнения. Тогда:

1) Простому действительному корню   соответствует частное решение  .

2) Действительному корню  кратности  соответствует  линейно независимых частных решений .

3) Пусть имеется пара комплексно сопряженных корней:  ( отметим, что если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень, то и комплексно сопряженное этому корню число тоже является корнем). Тогда им соответствует следующая пара частных решений дифференциального уравнения: .

Приведем несколько примеров решения линейных однородных уравнений:

Пример 1 Решить уравнение: .

Запишем характеристическое уравнение:.

Его корни  . Им соответствуют частные решения  . Эта пара решений составляет фундаментальную систему решений уравнения, а общее решение имеет вид произвольной линейной комбинации этих решений:

.

Пример 2 Решить уравнение:  .

Составляем характеристическое уравнение  . Действительный корень угадываем . Разложим характеристический многочлен на множители . Остальные два корня комплексно сопряженные:. Выпишем фундаментальную систему решений:

.

Общее решение этого дифференциального уравнения:

.

Пример 3 Решить уравнение:,

 .

Здесь заданы начальные условия (задача Коши). Находим общее решение уравнения. Характеристическое уравнение 

имеет корни . Следовательно, фундаментальная система решений  , а общее решение .

Теперь найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого продифференцируем  три раза и подставим в функцию и в выражения для производных начальные условия:

   

Решая эту систему, получаем . Таким образом, общее решение исходной задачи

, а частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: .