Линейное уравнение. Его график

Линейным уравнением называется уравнение вида:

В этом уравнении - неизвестные, а  - действительные (или комплексные) числа.

Пример 1:  . Здесь - неизвестные,  - коэффициенты при неизвестных,  - свободный член.

Решить уравнение – значит найти все значения неизвестных, при которых уравнение удовлетворяется. В Примере 1 решение можно записать так: . Это значит, что при любом действительном значении  , пара  представляет собой решение уравнения. На первом месте в записи решения всегда идет , а на втором месте - . Если неизвестных больше, то порядок такой - решение уравнения.

Графически решение линейного уравнения с двумя неизвестными представляет собой прямую линию. В нашем примере это прямая линия, проходящая через точки и 

 

Системой линейных уравнений называется несколько уравнений, которые нужно решить совместно. То есть нужно найти решения, которые все уравнения системы обращают в тождества одновременно.

Пример 2: Решить систему уравнений: 

Как находить решения системы? Самый простой по идее способ решения (правда, не всегда оптимальный) можно представить в виде следующего алгоритма (мы его продемонстрируем на данном примере).

1. Выразить одно из неизвестных в одном уравнении через другое неизвестное и свободный член:

2. Подставить найденное выражение в другое уравнение и найти неизвестное :

      3. Найти первое неизвестное и записать ответ:  . Ответ: 

Изобразим графически поиск решения. Мы изображаем обе прямые на плоскости. Их точка пересечения и даст нам решение .

Этим способом можно пользоваться, если уравнений в системе немного, скажем два. Если же уравнений больше, то используют метод последовательного исключения неизвестных, известный в высшей математике как метод Гаусса. В школьной математике этот метод решения называется способом сложения.

Если вернуться к примеру 2, то графически у нас имеются две прямые, которые не параллельны. Как мы знаем из геометрии, эти прямые должны пересечься в одной точке. Координаты этой точки и будут решением системы. То есть точка пересечения лежит на одной прямой и на другой прямой, то есть удовлетворяет обоим уравнениям одновременно. И такая точка одна. 

В случае, когда имеется только одно решение системы, мы говорим, что решение системы единственно, или, что система однозначно разрешима.

Для системы из двух уравнений с двумя неизвестными имеется три принципиально разных случая: 

1. Прямые имеют разные угловые коэффициенты и пересекаются в одной точке. Это как в примере 2. Здесь решение системы единственно.

2. Прямые представляющие собой графики уравнений системы параллельны, например.В этом случае прямые не пересекаются и система решения не имеет.

3. Прямые совпадают: ,то есть одно уравнение получается из другого умножением на постоянный множитель. То есть, по сути, на месте системы двух уравнений мы имеем одно уравнение. Оно имеет бесконечно много решений. В приведенной системе все решения можно записать так: