Комплексные числа можно представить в трех различных формах: алгебраической 
, тригонометрической 
и показательной 
.
С комплексными числами можно производить различные арифметические операции: сложение и вычитание, умножение, деление, возведение в степень. Если степень не натуральная, то возведение в степень определяется через комплексный логарифм и рассматриваться нами не будет. Здесь мы рассмотрим возведение комплексного числа в натуральную степень. Будем опираться на формулы умножения комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах:
Пусть комплексные числа заданы в алгебраической форме: 
и 
. Тогда умножение этих чисел определяется следующим образом:
,
то есть как обычное перемножение скобок с учетом того, что 
.
Пусть теперь комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
Тогда умножение происходит по формуле:
.
Наконец, если комплексные числа заданы в показательной форме,
, то их произведение равно:
.
Представим, что нам нужно возвести комплексное число в натуральную степень 
. Если степень большая, а число задано в алгебраической форме, то вычисления будут громоздкие.
Для тригонометрической и показательной форм возведение в натуральную степень выражается просто:
.
Докажем формулу для тригонометрической формы записи используя метод математической индукции.
1. При 
формула верна: 
( база индукции).
2. Пусть формула верна для 
, то есть 
. Нужно показать, что она верна при 
, то есть сделать индукционный шаг. Имеем:
.
Тем самым формула доказана. Приведем несколько примеров.
Пример 1 Возвести число
в сотую степень. Ответ записать в алгебраической форме.
Число находится в тригонометрической форме. Применяем соответствующую формулу:
При вычислении мы использовали, что синус и косинус имеют период
.
Пример 2 Вычислить
, приведя число
к показательному виду. Ответ дать в алгебраической форме.
Приведем число
. Вычисляем:
.
Мы воспользовались тем что
