Рекуррентные формулы в неопределенном интеграле

Пусть задана последовательность  . Тогда, рекуррентной формулой (рекуррентным соотношением) называется соотношение вида  , позволяющее вычислить любой член последовательности, если известны  предыдущих ее членов.Для неопределенных интегралов рекуррентные формулы так же имеют место. Приведем примеры.

Пример 1 Получить рекуррентную формулу для вычисления интеграла    и при помощи этой формулы найти интеграл 

Применим формулу интегрирования по частям: 

Из найденного соотношения выражаем 

Теперь применим эту формулу и найдем интеграл  . Мы знаем, чему равен интеграл . Это табличный интеграл: . Найдем интеграл  по рекуррентной формуле:  

Теперь находим интеграл : 

Пример 2 Получить рекуррентную формулу для вычисления интегралов  и  и при помощи этой формулы найти интегралы  и 

Применим формулу интегрирования по частям: 

Из полученной формулы выражаем : 

Найдем теперь интеграл . Отметим, что интеграл   - табличный. Находим  : 

Теперь находим интеграл  :

Для интеграла  рекуррентная формула получается точно так же и почти такая же:

.

Найдем при помощи этой формулы интеграл  . Интеграл  берем из таблицы. В некоторых таблицах его нет, но он несложно получается:

Находим  : 

Теперь находим : 

 В заключении приведем еще две полезные рекуррентные формулы для интегралов 

и .