Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

Ряд вида , где все числа  одного знака называется знакочередующимся или знакопеременным. Для таких рядов, которые часто встречаются на практике, признаки сходимости несколько различаются от признаков сходимости положительных рядов. Дадим несколько определений.

Ряд  называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Если ряд сходится, а ряд  расходится, то ряд  называется условно сходящимся. Существует простой признак сходимости знакочередующихся рядов:

Признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд  сходится (вообще говоря, не абсолютно) если последовательность  монотонно стремится к . При этом для остатка ряда  справедлива оценка: , где .Это достаточный признак, иногда его называют теоремой Лейбница.

Пример 1. Ряд , называемый иногда рядом Лейбница, сходится условно. Действительно, ряд из абсолютных величин является гармоническим рядом, следовательно, он расходится. Однако сам исходный ряд удовлетворяет признаку Лейбница, так как последовательность  монотонно стремится к нулю.

Пример 2. Ряды , при  так же условно сходятся. Для них тоже выполняется признак Лейбница: при  последовательность  монотонно стремится к .

Пример 3. Исследовать сходимость ряда .Очевидно, ряд не сходится абсолютно, так как модуль общего члена больше общего члена гармонического ряда: . По теореме сравнения, поскольку гармонический ряд расходится, делаем вывод, что и ряд, составленный из абсолютных величин исходного ряда, тоже расходится. Покажем, что ряд сходится условно.Применим признак Лейбница. Нам нужно показать, что  монотонно стремится к  при .Из теории пределов мы знаем, что , а , поэтому . Монотонность последовательности следует из монотонного убывания последовательностей  и . Итак, исходный ряд сходится условно.