Из курса школьной математики нам известно понятие первообразной и неопределенного интеграла. Тем не менее, повторим эти понятия ввиду их важности.
Пусть функция .png){kind=small}
определена и непрерывна на промежутке .png){kind=small}
может быть 
, а конец 
может быть 
. Функция 
называется первообразной функции 
или просто первообразной, если 
для всех .png){kind=small}
. Нетрудно показать, что совокупность всех первообразных данной функции есть множество функций 
, где 
- произвольная первообразная данной функции .. При этом конец 
Эта совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от функции
.png){kind=small}
и обозначается так:
Как и при дифференцировании, мы имеем таблицу первообразных для самых основных и наиболее часто встречаемых функций.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Некоторые формулы следуют непосредственно из таблицы производных, остальные можно просто проверить дифференцированием. Отметим, что, будучи действием обратным по отношению к дифференцированию, неопределенное интегрирование гораздо сложнее. Этому способствует так же отсутствие в правилах интегрирования формул для интегрирования произведения и частного. Несмотря на наличие некоторых дополнительных приемов, найти неопределенный интеграл в виде элементарной функции не всегда удается. Можно привести примеры некоторых функций, довольно простых на вид, для которых неопределенный интеграл в конечном виде не берется. Вот несколько таких функций:
.png){kind=small}
Здесь перечислены самые простые на вид функции, не имеющие первообразной в виде элементарной функции. Такие интегралы в просторечье называются не берущимися. Как же определить, берется интеграл или нет?
Во-первых, если вам дали интеграл в контрольной работе или в другом задании, то, скорее всего, он берется. Если в процессе вычисления интеграла вы получили интеграл, который не берется, то исходный интеграл тоже не брался. А что же делать, если интеграл не берется? Здесь можно попытаться разложить подынтегральную функцию в ряд и полученный ряд почленно проинтегрировать. А если вам нужно найти определенный интеграл от этой функции то существуют компьютерные программы, которые вычислят ваш интеграл с любой точностью.
Приведем несколько примеров применения таблицы и простейших правил интегрирования. К ним мы отнесем следующие два правила:
.png){kind=small}
.png){kind=small}
Пример 1 Найти интеграл:
.png)
Используем оба правила, а так же табличные формулы 1. и 9.:
.png){kind=small}
Пример 2 Найти интеграл:
.png)
Имеем: .png){kind=small}
Здесь мы использовали оба правила интегрирования, а так же табличные интегралы 1., 8. и 15.
Формула 1 здесь использовалась для
.png){kind=small}
