Ряды. Основные определения

Бесконечным рядом или просто рядом назовем бесконечную сумму вида 

Здесь  есть   -й член ряда. Для выписанного ряда определяется последовательность частичных сумм: 

Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм :

.

Этот предел  называется суммой ряда.

Если конечный предел  существует, то ряд называют сходящимся, если предел бесконечен или не существует, то ряд называют расходящимся.

Мы видим, что с каждым рядом  у нас связана последовательность частичных сумм . Но и наоборот, с каждой последовательностью  мы можем связать ряд  , где

Таким образом, множество рядов и множество последовательностей находятся во взаимно однозначном соответствии, при этом сходящимся рядам соответствуют сходящиеся последовательности и наоборот. Да и сумма ряда равна сумме соответствующей последовательности частичных сумм этого ряда. Зачем же нужно было вводить ряды?Дело в том, что рассмотрение рядов дает некоторый дополнительный арсенал признаков сходимости Для последовательностей мы имели простейшие теоремы о пределах, и две дополнительных теоремы: о двух полицейских и о монотонной ограниченной последовательности. Для рядов же имеется около десятка признаков сходимости (может больше).Так что введение в рассмотрение рядов это просто новая форма изучения последовательностей. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Геометрическая прогрессия  известная еще со школы является простейшим примером ряда. Ее частичная сумма, как известно равна

(если ). При  ряд сходится и его сумма равна  . Во всех остальных случаях ряд расходится, как следует из необходимого признака сходимости:

Необходимый признак сходимости. Чтобы ряд  сходился необходимо, чтобы общий член ряда  стремился к нулю: .

В нашем случае общий член ряда  при  к нулю сходиться не будет, следовательно, при  ряд будет расходиться.Если все члены ряда положительны, ряд называется положительным. Если за положительным членом в ряде сразу идет отрицательный, а за отрицательным идет положительный, то ряд называется знакопеременным или знакочередующимся.

Знакопеременный ряд можно записать в виде , где все  - одного знака.Сформулируем несколько утверждений непосредственно следующих из определения сходимости ряда.

Ряд  получаемый отбрасыванием  первых членов ряда  называется остатком ряда  после  -го члена или просто остатком ряда.

Если сходится ряд, то сходится любой из его остатков.

Отбрасывание конечного числа членов ряда  или присоединение конечного числа членов к ряду не влияет на его сходимость.

Если ряд  сходится, то сумма его остатка   стремится к  при  .

Если члены сходящегося ряда  умножить на один и тот же множитель  , то его сходимость не нарушится, а сумма лишь умножится на  .

Два сходящихся ряда   и  можно почленно складывать (или вычитать), в результате получим тоже сходящийся ряд с суммой равной сумме (или разности) сумм исходных рядов:

Отметим, что необходимый признак не является достаточным, то есть из  не следует, что ряд сходится. Это следует из примера:

Пример 2. Ряд  удовлетворяет условию  необходимого признака, однако ряд расходится, что следует из неограниченности последовательности его частичных сумм:

.

Отметим также, что необходимый признак один, остальные признаки – достаточные.