Функциональные ряды

Пусть имеется функциональный ряд  , то есть ряд, составленный из функций. Мы рассматриваем область определения ряда  , а так же ее подобласть   - множество тех значений, при которых ряд сходится. Множество   называется областью сходимости функционального ряда.

На практике большое значение играет равномерная сходимость. Дадим определение.

Последовательность функций  равномерно сходится к функции  на множестве , если для любого  существует такое натуральное число , что для всех  выполняется неравенство  для всех 

Функциональный ряд  называется равномерно сходящимся на множестве , если последовательность его частичных сумм  равномерно сходится на этом множестве.

Критерий Коши равномерной сходимости степенного ряда  : Степенной ряд    равномерно сходится на множестве  , если для любого    существует такое натуральное число  , что для всех    выполняется неравенство    для всех  . 

Так же как и для рядов для функциональных рядов вводится понятие абсолютной сходимости.

Ряд  сходится абсолютно, если сходится ряд из его абсолютных величин: . Имеет место признак Вейерштрасса равномерной сходимости.

Признак Вейерштрасса. Ряд  сходится абсолютно и равномерно на множестве , если существует сходящийся числовой ряд , такой что  при , .

Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов нужна для определения свойств суммы ряда (или предела числовой последовательности).

Теорема 1. Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть функция непрерывная.

Пример 1 Определить область сходимости функционального ряда .

При  ряд представляет собой геометрическую прогрессию, которая, как мы знаем из школы, сходится. При  ряд расходится, так как он не удовлетворяет необходимому признаку сходимости числовых рядов. Таким образом, область сходимости (да и абсолютной сходимости тоже) является интервал .

 

Пример 2 Исследовать последовательность на равномерную сходимость а) на промежутке и в) на промежутке .

а). Предельная функция на первом промежутке , поскольку  при . Равномерная сходимость последовательности на всем промежутке следует из оценки для .

в). Здесь промежуток  и предельная функция  не является непрерывной:

Предельная функция не является непрерывной, следовательно, сходимость не равномерная.

Возникает вопрос, а если бы предельная функция была бы непрерывной, гарантировало бы это равномерную сходимость? Оказывается, нет. Рассмотрим следующий пример.

Пример 3 Исследовать последовательность  на равномерную сходимость на отрезке .

Нетрудно видеть, что предельная функция  непрерывна на отрезке . Покажем, что сходимость не равномерная. Отметим, что все функции последовательности неотрицательны. Найдем максимум произвольной функции последовательности . Производная функции: . Она обращается в ноль в точке . Поскольку производная меняет знак с  на , то это точка максимума функции. Значение в этой точке: . Таким образом,  не стремится к нулю при .

Равномерная сходимость также нужна для обоснования почленного дифференцирования и интегрирования функционального ряда.

Теорема 2. Если члены сходящегося ряда  непрерывно дифференцируемы и ряд из производных  сходится равномерно на интервале , то ряд можно почленно дифференцировать и  при .

Теорема 3. Если члены ряда  непрерывны и этот ряд сходится равномерно на отрезке , то этот ряд можно почленно проинтегрировать, и справедлива формула: